传染病与网络爆红热点内容传播背后的数学模型 _小知识

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新冠病毒引起的疾病 COVID-19 的爆发迅速成为所有人关注的焦点新闻：从社交媒体到其他所有媒体平台，人们几乎只讨论疫情，我们的生活也因为出台的各种防疫政策而受到了很大的影响。人们持续探讨、刷新疫情进展的新闻，关注确诊数量，甚至担心将来会是怎样的演变与发展。总之，在客观存在的病毒之外，也同样有这样一种病毒式的时刻，它与信息的极速广泛传播相关，也与随之而来的主观意识相关。
上述这个事实把我们再次带到一个相似的情况：病毒疫情中在人群中不断地传播，非常相似于互联网中某个热点内容的爆红，比如：一条推特上的推文、油管上的一个视频、一种模因、Instagram 或者脸书的一条发布信息，等等诸如此类。给这种火遍全网的内容贴上一个形容词标签——“病毒式的爆发”，这并非偶然，而是存在其一定的流行病学背景。
模因(meme, 又称媒因)，是指一个想法，行为或风格从一个人到另一个人的传播过程。
因此，了解调节病毒传播与网络爆红现象两种现象的共同机制，就变得十分有趣：而在此探究多长之中中，数学是一种很重要的基本工具！
许多学者已经研究出一些有用的数学模型，来描述和预测这种流行现象传播的趋势与动向。
而这些模型又是如何建立出来的呢？其实最主要是通过一种统计学分析：通过计算大规模收集而来的相关传染进展的数据，对相应机制提出假设，然后再通过后续观察，对其进行确认、完善或修改。尤其值得说明的是，一个好的模型必须能以较好减小模型估计值与实际值之间的差距，这样重现一个地区疾病病例的时间序列。

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▲ 丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700-1782), 著名数学家，约翰·伯努利之子，为伯努利家族代表人物之一。
历史上，法国数学家丹尼尔·伯努利是最早一批尝试进行这项数学研究的人，他曾尝试对天花的传播给出定量描述。大约十八世纪中叶，天花是一种具高度传染性的疾病，其主要透过空气传播。在当时，它几乎是全世界最严重的区域传染病。在欧洲，它曾是主要的死亡原因——每年有 40 万人染病死去。在法国，它也导致了无数的死亡案例，甚至包括太阳王路易十四的王室成员。
在他的 1760 年的论文《天花死亡率新分析以及对预防性接种疫苗的优势研究》里，伯努利提出了一个基于感染人数呈指数增长的数学模型，并在此基础上证明了采用接种疫苗方式对于抵抗这种疾病是非常有效的。
伯努利的研究非常具有前瞻性，其发表比爱德华·詹纳（Edward Jenner）引入天花疫苗还要早几乎四十年。
目前，流行病的数学描述的参考范例是 1927 年由苏格兰科学家 William O. Kermack（1898-1970）和 Anderson G. McKendrick（1876-1943）提出的模型。

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▲ W. Kermack 和 A.McKendrick 两人头像
在他们的文章"对流行病数学理论的贡献 (A contribution to the mathematical theory of epidemics)"中，两位研究人员观察发现，要了解传染的动态，不妨将人群分为三个流行病学类型：

易感人群（英文的 susceptible，用 S 表示）：指那些尚未但很有可能被感染的个体群
感染人群（英文的 infectious，用 I 表示）：指那些已感染且具有传染性的个体群
治愈人群（英文的 recovered，用 R 表示）：指那些已感染但不再具有传染性的个体群，不再具有传染性是因为被治愈或者已去世或者被隔离

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Kermack 和 McKendrick 意识到，在大多数流行病中，一个人只能从类型 1 过渡到类型 2，或者从类型 2 过渡到类型 3，而不可能从类型 3 返回至类型 2（假设被治愈的人具有了对该疾病的免疫）。
由这两位科学家所发布的这个特定模型是基于微分方程组，该微分方程组能够预测上述三种流行病学类型的数量随时间的变化趋势：S(t), I(t) e R(t) .
在阿尔弗雷德·洛特卡（Alfred Lotka）和维托·沃尔泰拉（Vito Volterra）提出了非常著名的模型之后不久，Kermack 和 McKendrick 模型问世也并非偶然。前两者也是通过微分方程组来描述一个生态系统的动态，在这个生态系统中两个动物物种相互作用，分别是捕食者及其猎物。