下传染病与网络爆红热点传播背后的数学模型 _数学模型

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1631年尼古拉斯·普桑绘制《阿什杜德的瘟疫》
在本文的第一部分我们已经熟悉了研究传染病的 SIR 模型(《传染病与网络爆红热点内容传播背后的数学模型》) 。
我们再来回顾一下，其基本思路很简单，人口被细分为三类：

【下传染病与网络爆红热点传播背后的数学模型】S 类，易感者(Susceptible)：可能会染病的目前尚且健康的人群
I 类，染病者(Infectious)：已感染患病且因此成为疾病传播媒介的人群
R 类，痊愈者(Recovered)：退出这个疫情场景的人群，或因被治愈或因死亡或因仍处于隔离

两位数学家 AG McKendrick 和 WO Kermack 在 1927 年，1932 年和 1933 年的三篇文章中发表了他们的 Kermack–McKendrick 模型。提出在某些简化假设下，该模型能预测随着时间的推移通过人群传播的传染病病例的数量和分布。
在该模型下，如何理解这三类人群的转变过程是如何发生？也就是说，这三种传染病学类型的数量是如何随时间变化：怎样用数学语言去描述 S(t), I(t) 和 R(t) 这三个函数的变化趋势。为此，需要引入一些数学方法，但请注意这篇文章的目的只是展示在传染病领域是如何使用数学来构建一些相对简单模型。
首先，我们需要更好地分析前面提到的类型转变过程其背后的机制。比如，个体从 S 类变为 I 类这意味着什么？其实很简单：这个人被感染了，从而具有传染性。这个过程要感染者与易感者之间产生了接触，把病毒传给了后者。
在当今对 COVID-19 的关注中，困扰每个人的问题是：人们患病的几率是多大？用组合数学与概率知识就可以帮助我们对此进行估计。
容易证明，在有总人口 N 中，两个对象可能接触的次数等于：

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举个例子，有五个人，他们分别是 Alberto, Beatrice, Carlo, Daniele 和 Elena，两两可能接触的总次数则由上面公式算出：

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准确列举 {{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E}}, 如下网络图所示：

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但在这些接触中，有多少是存在风险的？这涉及到易感个体与感染个体之间的一次接触：在这种情况下，假设有可能易感者被感染了。此类接触的次数，是由易感人群数量 S0 与感染人群数量 I0 的乘积给出，即：

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因此，任何一次接触可能存在感染风险的概率，就等于风险接触的次数与总接触次数之间的比值，即：

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继续之前那个例子，如果在我们这五个人当中，有两个是感染了的个体（假设是 B 和 D），即 I0 = 2，而另外三个人是易感者，则有风险的接触数量为 S0·I0 = 6（这种风险接触分别是 {{A,B},{A,D},{B,C},{B,E},{C,D},{D,E}}，则其中之一发生的概率等于：

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如果发生一次有风险的接触，病毒并不一定会传染易感者，健康的人还很可能保持健康状态。很显然，这取决于该疾病的传染强度如何：那我们就用来表示一次风险接触造成传染的概率。我们随机地任取一次两人之间的接触，则这次接触造成了新感染的几率等于：

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为了简单起见，我们假设每个人平均每天都会与另一个人接触，则新感染的平均每日数量等于前面那个式子乘以总人数，即：

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那如果现在我们定义 β 为：

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我们发现每天会发生：

下 传染病与网络爆红热点传播背后的数学模型

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