下传染病与网络爆红热点传播背后的数学模型( 二 ) _数学模型

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这么多起新的感染案例，当然这也是易感人群每天减少的数量。
因此，我们确定，如果 S(t) 是某一天 t 的易感人群数量，那么，之后第二天该数量将变为：

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另外，除了传染事件（即从健康变为感染的这个过程）之外，我们还得考虑第二种情况，也就是从感染变为被移出该场景，这个过程可能对应于一次治愈，也可能对应于一次病人的死亡，或者是一次个体的彻底隔离。
我们用 γ 来表示每天从感染者 I 类型变为移出者 R 类型的百分率，R(t) 则是某一天 t 本身拥有的 R 类型的个体数量，那么，之后第二天该数量将按以下关系式而增长：

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这时候再来思考此时的感染人群的数量。嗯，一方面因为传染，其数量有所增长；但另一方面又由于治愈、死亡以及隔离而产生移出者，故其数量又有所减少。那么，此时感染人群数量的总余额为：

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这三个方程在一个离散的假设中构成了 SIR 模型。因为我们之前已经把所有描述设定在一个这样的场景里：它以离散的方式产生发展。
如果我们将上述这三个方程所构成的差分方程模型转换成连续的形式，我们很容易得到这样一个微分方程组：

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这几个方程里需要注意的是 S(t), I(t), R(t) 关于时间 t 的导数，也就是说，这表示是随着时间的推移而产生变化的程度。很容易直观感受到，这完全取决于 β 与 γ 这两个参数之间的辩证游戏：第一个参数（即 β）为我们提供了病原体传染性的一个指标；第二个参数（即 γ）作为指标来表征患者因治愈、死亡或隔离而成为移出者（即退出这个疫情场景）的可能性。

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SIR 模型里的三个类型以及转变过程中的调节参数
特别地，方程组里的第二个方程向我们展示了感染人群数量的变化

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这个式子是由两项组成，一个按照比例常数 β 与 S(t)I(t) 成比例的正项以及一个按照比例常数 γ 与 I(t) 成比例的负项。显而易见，这个式子会是正的，即感染人群数量会增加，如果：

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也就是说，γ/β 的比值小于易感人群的数量即 S(t).
由此可见，γ/β 这个比值在传染病疫情的一开始就具有一个阈值的含义：如果易感人群数量大于该阈值，则该传染病会爆发，并且在开头一个阶段会呈迅速扩张态势；反之，则该传染病甚至几乎不会爆发，因为感染人群的数量会很快减少至消失。
正如我们所看到的，好消息是，易感人群的数量总在减少：这向我们传递了一个信号——即便在最具破坏性的传染病中，它迟早会降至 γ/β 的比值以下，这就预示着会进入到传染病趋势的下降阶段。但为之扼腕的是这期间已经牺牲了很多的人了。
现在，我们来集中讨论一个糟糕的情况，而那是真实的疫情场景：S(t)> γ/β，在这个不等式的两边同时乘以 β/γ，我们得到一个完全等价的关系式：

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因此，用语言描述即为：如果阈值关系（γ/β）的倒数（β/γ）乘以易感人群数量的值大于 1，该传染病会爆发，反之则不然。在感染的最一开始，易感人群数量等于 N（即人口总数），因为此时尚未有人被感染。如果我们能够记录那个时候它当时的情况并量化数据

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我们可以有意识地去了解情况将会如何演变：理论上，仅当基 R0 大于 1 的时候，传染病才会爆发，否则该疾病的传播就停止在了萌芽状态。

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部分被人广泛知悉的疾病的 R0 值(图自维基)
关于 R0 基本传染数（Basic Reproduction Number）这个数，这些天在电视和社交媒体上的报道层出不穷：在传染病学家中，它被称为感染的“净繁殖率”，表征一个已被感染的个体在其自身感染期间可以传染的人的平均数量（假设整个人群仍然是易感的）。

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