傅里叶级数——这样"魔法"波形的基本概述与动画解释 _数学家

文章插图

作者：[遇见数学翻译小组核心成员] 龙啸或饭团, 严云飞，亚丽
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵(1768 - 1830)给我们留下了上面这句意味深长的名言，以此强烈提醒我们要不断地把与自然的联系作为知识的灵感来源。这句话再恰当不过了，因为无论是从字面上的还是象征意义来看，傅里叶本人最大的贡献——傅里叶级数，都源于他对自然的深入研究。
本文所要讲述就是他在数学史上的主要贡献，这来自于对一个自然问题的解答：一块金属板上温度如何随着时间的流逝而变化？对板子上的任何一点来说，其温度究竟具体是怎样改变的？

文章插图

想要解开这个问题最后的答案却要回归到我们最初理解世界的一种长期传统：通过用与圆相关的项来描述周围的世界。
自古以来，圆形作为人类所能理解的抽象形状，再简单基础不过。一个圆心和一条固定长度的半径就能确定它--圆周上的每一点都与圆心完全等距。理解傅里叶级数(和由此的傅里叶变换，以及离散傅里叶变换)的关键是我们人类一个古老的欲望，即想用与圆有关的项来表示一切。这篇文章的其余部分围绕着这个妙不可言的联系，傅里叶观察的核心就源于下面这个优雅而又引人入胜的认识：从一个圆简单地旋转中就可以创造出正弦和余弦的三角函数。
导言正如刚刚提到“古老”一词所暗示的那样，傅里叶远非第一个意识到这一点的人。然而，他是第一个聪明地注意到，无论是正弦还是余弦这样简单的波，都可以通过加起来，从而来完美地复制任何类型的周期函数。更重要的是，这个级数之所以以他的名字命名，是因为他推导出了一种巧妙的方法，对他的发现结果进行了逆向分析操作：傅里叶级数的建立和所需的傅里叶分析是揭示所有收敛于目标函数的正弦和余弦波所必需的过程。具体来说，这一逆分析包含推导出各独立圆周旋转运动的系数（圆的半径)和频率(“旋转速度”），以及用这些圆形运动叠加来模拟任何一般周期函数。
傅里叶级数是与泰勒级数等价的圆和波。假设你不熟悉这一点，傅里叶级数只是一个长而令人畏惧的函数，它能将任何周期函数分解成一个个简单的正弦和余弦波。这似乎是一个令人困惑的概念，但几乎任何函数都可以表示为由旋转的圆周运动产生的一系列正弦和余弦波。为了让您了解这种新观念有多普遍，请查看下面的动图示例，仅仅使用一系列叠加的圆周运动，我们就能成功勾勒出一只展翅小鸟的图案：

文章插图

每个旋转的圆都转化为一个简单的正弦或余弦波
傅里叶级数的更深含义，在于可以通过傅里叶变换应用于更为一般的非周期函数，长期以来这一直是数学物理、工程和信号处理的主要分析方法之一。傅里叶级数是所有数字信号处理的关键基础 -- 花一点时间就可以意识到其广泛性。傅里叶的工作引发了更宽广的基础和应用研究，一直发展至今。正如我们将在下文看到的，虽然傅里叶级数最初只用于描述自然界存在的各种波运动中的周期函数，例如光波和声波，但它的理论推广到了更广的场景，例如小波分析和局部三角分析的最新理论所依据的时频分析。
热方程之后的研究1828 年，傅里叶男爵第一次提出了一种观点，即任何周期函数都可以用一系列正弦和余弦波来表示；发表在他的论文《Theorie Analytique de la Chaleur》上，该论文大致翻译为《热的分析理论》，傅里叶的工作是对特定的热方程得出答案的结果。《Panda the Red》优美地讲述了这段特殊的旅程，因此，我们主要来看傅里叶热方程之后的发现。
简而言之，从热方程出发，傅里叶将他的发现发展为傅里叶级数；从那时起，傅里叶级数的重要性才有所提高（尽管这种重要性很大程度上来源于傅里叶变换），特别是在数字时代。从建立如布朗运动等物理学基础，到布莱克-斯科尔斯方程等金融基础，再到数字处理等电气工程基础，傅里叶的工作在理论和实际应用中都得到了长足的发展。
然而，由于受篇幅限制，我们在这里主要讨论的是傅里叶级数。尽管不经意间提到傅里叶级数只适用于周期函数，但实际情况却有点微妙。
狄利克雷条件(Dirichlet Conditions)首先，必须指出，与傅里叶变换不同，傅里叶级数不能应用于一般函数--它们只能收敛于周期函数。然而，这不是全部，为了保证简单的正弦和余弦波的收敛，必须满足三个具体的条件，称为 Dirichlet 条件。对于周期长度为2L的周期函数 f(x)，三个条件都必须满足：

傅里叶级数——这样&quot;魔法&quot;波形的基本概述与动画解释

傅里叶级数——这样"魔法"波形的基本概述与动画解释