解出 后，我们现在可以将系数带回到我们上面设置的半程傅立叶正弦级数中 。现在让我们写下级数的前几项：

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看起来这有点复杂，然而，它已经非常准确能描述出：右边的傅里叶级数确实收敛到我们的目标方波 。我们可以通过动画展示来进一步证实这种收敛是如何随着时间的推移发生的：


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随着我们的傅里叶级数已经被正确地解决，让我们花一点时间来直观地确认我们解出来的是什么 。下面的动画准确地显示了上面的每一项是如何与一个具有特定半径和频率的圆相对应的 。在总和中，它画出了我们预期的方形图：


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每个圆都有不同的半径和频率 。在上面的 GIF 的第三列中可以观察到，通过在前一个圆的半径的末尾附加每个圆，我们的波逐渐接近一个方波 。最后检查一下，当我们接近无穷时，我们将把该级数覆盖在最开始的方波图形上：


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在傅里叶变换上傅里叶级数是将周期函数表示为简单正弦和余弦波的无穷和的一种方法 。从信号处理到近似理论再到偏微分方程，傅里叶级数与物理现象的联系是多么复杂，怎么说都不为过，任何具有可识别模式的东西都可以用变化的正弦和余弦波来描述 。


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约瑟夫·傅里叶，1768年3月21日－1830年5月16日
然而...这并不是故事的结尾 。几十年后的今天，我们的傅里叶级数的范围与它的继承者傅里叶变换相比是非常有限的 。傅里叶级数用于表示一个离散和周期函数，而傅里叶变换用于表示一般的非周期函数 。傅里叶变换本质上是函数的傅里叶级数在周期接近无穷大的极限 。它也是所有基于数字技术的核心，对于那些好奇的想要了解我们日常物品本质的人来说，这是我们旅程的下一站 。
【傅里叶级数——这样"魔法"波形的基本概述与动画解释】

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