傅里叶级数——这样"魔法"波形的基本概述与动画解释( 二 ) _数学家

在周期 2L 内，函数 f(x) 连续或只有有限个第一类间断点；
在周期 2L 内，函数 f(x) 的极大值和极小值的数目应是有限个；
在周期 2L 内，函数 f(x) 是绝对可积的。

上面的三个准则主要是问：“函数 f(x) 是有界变化吗？”如果 f(x) 在某些长度 2L 上是周期性的，检查上面所列的每个条件，那么傅里叶级数保证余弦和正弦波的一些混合可以用来替换函数 f(x) 。接下来，我们将深入研究傅里叶级数本身，从一个非常粗略的概述开始，直到计算出精确的傅里叶级数。
傅立叶级数无穷级数要么趋于无穷，要么收敛于一个数，就像无穷级数的表达式（多项式或三角)要么趋于无穷，要么收敛到一个函数(或形状）。相反地，如果我们给定一个形状，我们可以通过创建一个无穷级数的变化的正弦和余弦波来近似它的函数。
傅里叶级数是一个简单的函数，它是通过波和常数的字面求和来描述和求出的。
公式概述我们先从傅里叶级数更一般的概述开始。下面，下面等式左边是我们试图通过傅里叶级数（方程右边）近似的目标函数：

文章插图

“傅里叶分析”只是逆向分析的具体过程，或者是说我们有意从头开始构造一个周期函数，目标是求解其中的系数 , 及。傅里叶级数最常见的符号如上所示。在我们深入研究系数之前，让我们通过解释这两个不同的部分来重新定义上面的内容。
f(x) = Avg. Function Value + Sine/Cosine Waves Series
傅立叶级数的第一部分，包含系数 a0 的第一部分除式就是函数的平均值；更具体地说，它代表了 -L 或 L 之间的净面积，除以 2L(函数的周期) 。
方程的第二部分，用 ∑ 级数符号标记，表示不同余弦和正弦波的求和，它们应该收敛到目标函数；正如人们所知道的，这两个三角函数在级数中都取到 n 次。对于这个方程的后半部分，挑战是求解 an 和 bn 。
傅里叶分析当深入傅里叶分析的时候，我们开始求解目标系数(a0, an 及 bn)，有好消息也有坏消息。好消息是：有一个标准的模式可以导出所有三个系数，甚至还有一些捷径可以帮助求解，我们将在稍后介绍。坏消息是：对于 a0, an 及 bn 的求解尽管显得直截了当，但远不简单。所有三个系数都通过以下积分求解：

文章插图

注：给定的三个系数都假定一个 2π 的周期
「求解 a0 - 平均值」
左边的第一项，a0 有时被称为“平均值”系数，正是因为这个原因-它只是我们要替代的函数在固定周期内的积分。
「求解 an - 余弦波的求和」
在我们的级数中，an 是余弦波的主导系数；我们的目标是算出这个系数在级数中的不同值。
「求解 bn - 正弦波的求和」
相反，bn 是级数中正弦波的主导系数；我们的目标是再次计算这个系数在级数中的不同值。
an 或 bn 本质上是它们各自波的变化“权重”，它们为我们提供了一个近似，即对于任何给定的级数，怎样通过合理的波的“混合”来达到最佳近似。
捷径-偶函数和奇函数值得庆幸的是，大多数傅里叶级数的复杂度在起初都大大降低了；通过分析目标函数 f(x) 的对称性，无论函数是偶函数还是奇函数，我们通常至少可以一个系数排除出来。让我们回顾一下，一个函数的奇偶性，是相对于它在原点或 y 轴上的对称性而言的：

如果 f(-x)=f(x)，则 f(x) 是偶函数；
如果 f(-x)=-f(x) , 则 f(x) 是奇函数。

巧用函数奇偶性将极大地简化求解过程。捷径的关键是在开始傅里叶分析之前，首先检查 f(x)，即我们近似的函数或形状，是否是奇函数或偶函数，还是两者都不是。
如果一个函数是奇函数或偶函数，我们就很幸运了。回忆一下基本的微积分知识，不难发现，在某个固定的周期内对两个三角函数中的任何一个积分时会发生什么：

从 -L 到 L 的 cos(x) 的积分为 0；
从 -L 到 L 的 sin(x) 的积分也是 0 。

基于以上两组事实，现在我们就清楚利用函数的对称性如何大大降低了傅里叶分析的复杂性；基本上，在大多数情况下，我们会遇到傅里叶系数 a0, an 或者 bn 在积分后变为零的情形。利用奇、偶函数的性质，在不进行具体积分运算的情况下就能够预测系数为 0，这实际上是一条强大的捷径。让我们进一步仔细考察这两种情况。

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傅里叶级数——这样"魔法"波形的基本概述与动画解释( 二 )