初等数论入门：什么是“域” _数论

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1. 什么是“域”伽罗瓦提出一种名为“有限域”（finite field，日语将其称为“有限体”）的理论。在为大家做具体介绍之前，我先来讲讲什么是域。我们从上小学开始就不断学习与数有关的知识，想必大家一定已经发现了，学习中接触到的数的种类在逐渐增加。我们最先接触自然数 1, 2, 3, ……，然后是 2/3、3/4 等分数和 1.5、0.04 等小数，再后来又学习了 ?2、-5 等负数。
接下来会接触到诸如正方形对角线的长度等，像 √2 这样的无理数。无理数无法用分数表示。
数自身不断进化，其种类也不断增加。这究竟是为什么呢？当然是为了方便计算。
当大家只了解自然数 1, 2, 3,…… 的时候，虽然可以自由地进行加法运算，但却无法随意地进行减法运算，因为较小的数不能减较大的数。想让小数减大数就要创造出新的负数。也就是说，只要将数的范围扩展至负数
…… , ?5, ?4, ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3, ……
就能自由地进行减法运算了。
但是，负数的出现并不能保证除法运算的自由进行，例如，我们还是无法得出 2 ÷ 3 的结果。为此必须引入 2/3 这种新的数，也就是说，分数是必需的。
包括所有正负整数和正负分数在内的数的集合叫作有理数，数的范围扩展至此，在这一范围内可以自由地进行加、减、乘、除的运算（不过，0 不能作除数）。
这种可以自由进行加减乘除运算的数的集合就叫作「域」。因此，可以说全体有理数构成了域，即下列各等式是成立的。

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不过，“域”这个字在这里没有什么特殊的含意。无论大家怎么查询都不会找到“域”在数学中的含意。
虽然全体有理数构成了域，但域并非仅指有理数。除有理数之外，还存在无理数。有理数和无理数共同构成了实数，所有实数也构成了域，即下列各等式也都成立。

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所有实数都可以自由进行加减乘除运算，因此实数也构成了域。除此之外还有很多个域。
例如，所有具有以下这种形式的数也能构成域。

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任意选取两个这样的数进行加减乘除运算，其结果也永远是上面这种形式的数。由此可知，所有具有这种形式的数构成了域。
2. 最小的有限域以上举出的域只不过是无数个域中的两三个实例，这些域中都包含着无穷多个数。不过，并不是所有域中都一定包含无穷多个数，也存在一些由有限多个数构成的域。
由有限多个数构成的域叫作「有限域」。由于最初研究有限域的数学家为伽罗瓦，所以我们也将有限域称为“伽罗瓦域” 。
在有限域中，数的个数最少为 2 。
这个域就是用 (mod 2) 对整数进行分类时的剩余类。
用 (mod 2) 进行分类后，整数将被分为两类，一是包含 0 的类，即偶数；二是包含 1 的类，即奇数。我们在此假设，所有偶数用 0 表示，所有奇数用 1 表示。

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大家可能觉得 1 + 1 = 0 有些奇怪，但只要把它看作是奇 + 奇 = 偶的意思就很好理解了，或者也可以认为它的意思等同于 1 + 1 ≡ 0 (mod 2) 。
乘法运算的情况如下。

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具有上述 + 和 × 的计算规则的 0 和 1 的集合就构成了域。
根据"同余式与等式"一节介绍可知，利用 (mod n) 对整数分类后，- 和 × 等各种运算规则仍然成立。

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当然，对于 (mod 2) 应该也成立。
另外，对于非 0 的“数”，也就是 1 而言，其逆元*为 1 本身，所以 ÷1 和 ×1 的结果相同。
* 通常在数学领域它与“倒数”的意思相同，指该“数”乘以“某数”等于 1 时的“某数” 。
也就是说，{0, 1} 这个“数”的集合构成了域。
3. 用 (mod 3) 进行分类时的有限域下面我们来看看 (mod 3) 的情况。
剩余类包含 0，1，2 这三类。加法运算和乘法运算如下表所示。