初等数论入门：什么是“域”( 二 ) _数论

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由该表可知，由于 1 × 1 ≡ 1, 2 × 2 ≡ 1，所以 1 的逆元为 1, 2 的逆元为 2 。也就是说，0 以外的数都有逆元，所以 {0, 1, 2} 构成了域。
4. 用 mod 4 进行分类则无法构成有限域接下来让我们用 (mod 4) 进行分类。剩余类共包含 0，1，2，3 这四类。

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根据上表可知，此时 2 · 2 ≡ 0，所以 2 没有逆元。
也就是说，因为非 0 的 2 没有逆元，所以不能构成域。
5. 用 mod 5 进行分类时的有限域下面让我们来试试用 (mod 5) 进行分类。由于剩余类包含 0，1，2，3，4，所以加法和乘法表如下。

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根据乘法表可知，

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由此可知，除 0 以外的其他“数”都有逆元。
6. 若 p 为素数，则剩余类为有限域至此，我们可以推测出当 n 为素数时，(mod n) 的剩余类能构成个数为 n 的有限域。
事实的确如此。
我们知道，当 p 为素数且用 (mod p) 进行分类时，费马小定理是成立的。
也就是说，对于非 0 的 a 而言，以下同余式恒成立。

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在此令 a^(p-1)=a·a^(p-2)，则

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由此可知，a^(p-2) 是 a 的逆元。
因此，非 0 的 a 确实总是存在逆元。由此可知，相应的剩余类可以构成域。例如 (mod 5)

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同理可得

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再如 (mod 7)

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综上，以素数 p 为 mod 后得到的剩余类能构成个数为 p 的有限域，由此可知 1 个素数有 1 个有限域。然而，由于素数有无穷多个，所以有限域也有无穷多种类。
7. 根据原根表找出逆元如果我们手边有原根表，那么就能轻松地找出逆元。例如 (mod 7) 。因为原根为 3，所以

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由此可知

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也就是说，当 3^s 表示逆元时，用 6 减去（原来的数的）指数即可得到 S 。
【初等数论入门：什么是“域”】