18世纪博物学之父布丰：随意往地板上扔针，竟可以算出圆周率？ _圆周率

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下文自北京市十一学校数学建模协会，[遇见] 授权转发
问题背景在18世纪的法国，有一位博物学家、数学家，叫布丰。
咱们的小学课文《松鼠》便出自他笔下；他还写了巨著《自然史》……但是咱们今天要说的，是他提出的一个数学问题——“布丰投针问题” 。
布丰投针问题：设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板，随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。
布丰以此概率提出了计算圆周率的新方法：随机投针法。
不知道你现在的心情是不是这样：

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反正我是。
随便往地板上扔针，竟然能算出圆周率？？？这两件事，有一点点的关系么？……

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显然，这东西是能被严谨证明的（要不然，我为啥拿出来发公众号）。证明过程请看下文——

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【18世纪博物学之父布丰：随意往地板上扔针，竟可以算出圆周率？】
数学原理方法一

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在上图中，如果点代表针的中点，直线是平行线中的一条的话，针所有可能的位置（无论相交与不相交）便组成了下图这个圆。其中，针与平行线相交的所有位置组成的图形就是阴影部分。

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两侧完全对称，因此只取半圆考虑即可。
针所有可能的位置是不随针中点与平行线距离的改变而改变的。因此，当考虑 y 的变化时，针所有可能的位置情况组成一个底为 S1，高为 d/2 的半圆柱。

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针与平行线相交的所有可能位置随y变化而变化，因而组成如下图形。

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取 V2 的一块微元（体积的微分）：

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如果你看完之后是这个情况：

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先别走，考虑看看方法二吧，它比方法一简单那么一点点。
方法二

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为了方便分析，取平面内一个结构单位，该结构单位由某条平行线的某部分和一根针组成。

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如图，由于y可以取0到d/2的任何数，因此针中点的所有可能性（所有y）构成长为d/2的线段。随着θ的变化，该可能性并不会变化，因此所有可能性形成面积为的粉色矩形。易得：

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当针中点的位置满足其与平行线相交时，其可能的值为小于等于l/2sinθ 的所有值。随着θ的变化，该可能性变化，因此所有可能性形成面积为S2的蓝色图形。

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计算机模拟实验经过一大串证明后，咱们就来自己投针试试。
为此，我编了个Python程序，可以模拟随机投针的过程，还能生成图像！（感谢信息技术考学让我学会用turtle模块画图……）
于是，我先做了6次扔100根针的实验。针的长度为40，平行线间距为50 。即在这个实验中，l=40，n=100，d=50 。结果如下：（π的计算精度取小数点后两位）