不要轻视不等式，杂谈数学中的几个重要不等式 _不等式

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本文作者：刘瑞祥，[遇见] 这里感谢刘老师投稿支持！
不等式，在很多人的眼里好像不如等式重要，的确，等式能告诉我们精确的信息，而不等式不能告诉我们什么呢？但是，这种轻视不等式的看法恐怕大错特错。本文就随便讲几个重要的不等式。
我要谈的第一个重要的不等式是所谓“三角形不等式”，即 AB+BC≥AC，用文字表达即为“两点之间直线距离最短” 。什么是“距离”，以及“两点之间”除了“直线距离”还有没有别的“距离”，这些问题已经超出了我的能力。我要说的是，虽然即使是小猫小狗也天然地懂这个不等式，但我们不要小看它，因为数学中的“度量空间”就是以之为定义的，当然还有另外两个要求：一是任意两点间距离为非负数，当且仅当两点重合时为零；二是 A 到 B 的距离等于 B 到 A 的距离。
在应用上，这个不等式也非常重要。在《思考的乐趣——Matrix67 数学笔记》这本书里，作者顾森曾经提出过一个不等式：

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如果用代数方法证明这个问题将极为繁琐，但如果转化为几何问题，那无非就是这个不等式。
再比如著名的“将军饮马”问题：在直线上找一点，使同侧的 A、B 两点到该点距离之和为最小。下面这个问题：以已知点 A、B 为焦点的椭圆与已知直线 l 相切，求这个切点。这里的难点是椭圆并没有画出，如果按照常规思考，似乎并没有头绪，但是如果考虑到光学中的“费马原理”，再结合这里提到的“将军饮马”，问题迎刃而解。
【不要轻视不等式，杂谈数学中的几个重要不等式】

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在代数上，我所知道的最重要的不等式可能是所谓的平均值不等式，即：

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这个不等式的一个常见用途是求最大、最小值，比如已知正数 x 和 y 的乘积为某个定值，则我们可以求出 mx+ny 的最小值，其中 m、n 均为正值。原来还有这种操作？-->不过我当年第一次看到这样的例题时还是吃了一惊。——原来还有这种操作？当然，这个均值不等式还可以推广到任意多个正数的情况，这里就不再证明了。

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下面给出最简单形式的柯西不等式：

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这显然就是前面平均值不等式的一个变形。这也说明，复杂、“高级”的数学知识，是可以从比较初等的数学中发展出来的。
和均值不等式比较接近的还有一个：

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这个不等式直接证明起来也有点麻烦，但是有很多方法可以用来理解之：比如设 a、c 都是路程，b、d 是对应的时间，则表示平均速度在最大速度和最小速度之间；如果设 a、c 都是溶质质量，b、d 都是溶液质量，则表示混合后的溶液浓度介于原来两部分溶液之间，类似还可以看作坡度等等。
“极限”的 ε-δ 定义也是用不等式建立的。这使“极限”一词摆脱了那种依赖于直观的模糊图像，变得可以真正被用来研究数学问题了。假如没有这个定义，我们遇到“极限”的时候只能说“越来越接近”，这对于数学证明没有丝毫作用。类似的，判断极限是否存在的柯西准则，以及夹挤定理，都需要不等式。
这个定义除了直接证明某个函数的极限外，还用来证明极限的运算法则（函数和差积商的极限等于函数极限的和差积商）以及可以证明若干函数不存在指定的极限。但有些微积分教材只给出了函数和的极限等于极限和的证明，如何证明其它几个运算法则？我强烈建议教师一定要把这个问题讲一遍，否则会造成学生的重大遗憾——我本人就是一个例子。
另外的一个证明极限的方法是用增减性，结合上（下）确界定理进行证明。而这也都需要不等式，比如要证明级数

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收敛。首先可以判断这个级数随着 n 的增大单调递增，然后将其放大到