数学漫步：活在二维空间“文明”怎样观察三维世界？ _空间

在这一章中，我们作为错觉艺术大师埃舍尔画中那些生活在平面国中的二维生物一起想像三维物体。视频请见数学漫步第二章。
1. 三位杰出人物莫里茨·科内利斯·埃舍尔(1898-1972)是一个荷兰杰出的版画艺术家，他的作品引起了许多数学家的兴趣。他的版画给我们展示了自相矛盾的世界与有着惊人对称性的瓷砖和无限的透视：正是令数学家们着迷的东西！你能在埃舍尔官网上找到他的传记与他的版画的复制品。

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埃舍尔、巴赫和哥德尔
约翰·塞巴斯蒂安·巴赫(1685-1750)，巴洛克时期的作曲家及管风琴、小提琴、大键琴演奏家，是另一位吸引了数学家目光的艺术家。他同样在作品中给我们展示了惊人的对称。
库尔特·哥德尔(1906-1978)是一位引发了逻辑学革命的数学家，他同样探讨整体与部分间的对称性。
一本杰出的书《G?del, Escher, Bach》（中译本：《哥德尔、埃舍尔、巴赫：集异璧之大成》）探讨了这三位杰出人物作品之间所蕴含的深刻关系。
埃舍尔最有名的版画之一叫做《爬行动物》。由于它在影片中一闪而过，让我们在这花点时间欣赏它。在写生簿的一页上我们看到扁平的蜥蜴瓷砖完美地拼接在一起。

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埃舍尔的《爬行动物》
这是平面世界的景象：生活在纸质平面上的蜥蜴们只知道书页，而对周围的立体空间一无所知。我们看得见它们，并且知道它们所生活的平面世界不过是存在于我们三维空间中的笔记本的某一页，但是那些平面内的蜥蜴们不知道这点。
其中一条蜥蜴发现了逃离平面，并且进入我们这个世界的办法：我们在画面底部看到他逐渐变厚实立体，攀爬上一本书，利用一把三角板工具爬向一个正十二面体的顶部平面，最后重新回到平面世界中他的位置。但其过程中，它就像发现了新大陆的探险家，获得了不可多得的经历。
这副版画引起了人们的哲学思考：如果这些蜥蜴并不了解它们周围的外部世界，我们是否也会有同样的情况？难道在我们的 "外部 "就没有一个更 "外部 "空间世界，而我们的感官又无法感知进入这个世界吗？
【数学漫步：活在二维空间“文明”怎样观察三维世界？】实际上，版画中有许多哲学暗示。我们看到柏拉图认为组成世界的四种元素：杯子中的水，蜥蜴鼻孔呼出的空气，盆中的土与火柴盒所暗示的火，我们甚至看见正十二面体，那是柏拉图所指的第五元素，经典的十二面体……也许“job”牌香烟纸会不会是一个圣经中的典故？
这一章的目的是为了让我们为第四维做准备。为了感知到四维空间，让我们先来想像如何向纸平面蜥蜴解释第三个维度。假设我们由上帝（哲学家？数学家？）选出来的蜥蜴，并且有离开纸面爬上十二面体的特权。我们在三维空间中，看见一个罐子，一本书，一个正十二面体，而我们的任务是向那些还困在平面而看不到这些物体的蜥蜴“展示”这些东西。
二. 《平面国》

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艾勃特与第一版《平面国》封面
这一章也讲到埃德温·艾勃特，一位十九世纪的英国牧师，他写了一本书叫《平面国》的讽刺中篇小说。这本书讲述一个平面社会，其中的人物是三角形，正方形，圆和线段。在这个社会中生活的规则十分复杂，而这本书的引人之处在于作者用他们讽刺作者所生活的十九世纪维多利亚时代环境，这个社会充满了自己的复杂性。
本书中的主人公，一个六边形，与视频中逃离的蜥蜴类似，通过不断对其他维数的一点一点了解，而离开了自己的平面。这本书的副标题是“一个多维的浪漫传奇” 。这本小书是真正的瑰宝，它也是最早的科普作品之一。
三.柏拉图体我们应该给平面蜥蜴展示哪些物体? 可以是花盆或一本书，但是取而代之，我们仍将以哲学的方式展示给他们五个柏拉图体。

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其中一些物我们很熟悉，比如立方体，我们有时遇到其它的比如正四面体。其它的则不常见，你必须注意观察才能发现它们。

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例如正二十面体，如上图所示切掉它的十二个顶点。我们得到一个由 20 个六边形和 12 个五边形组成的物体。五边形是来自被切掉的 12 个顶点，其形状与正十二面体的面相同。你也许发现最终的物体很像一个足球…… 。