数学漫步：活在二维空间“文明”怎样观察三维世界？( 三 ) _空间

现在我们想像有个包含六块大陆的“地球”，每一板块都是膨胀的立方体的一面。我们对膨胀的立方体和地球可以做同样的操作：把它立体地投影到平面上并且旋转它。六块大陆的旋转变换也就是正方体的六个面的旋转变换！当然，由于膨胀了的立方体的面是圆弧形的，且球极平面投影把圆投影成平面上的圆或直线，所以膨胀立方体在平面上的投影呈现出有弧边与线段的“方形”面。对于平面蜥蜴来说，他必须想像他处在一个与膨胀的立方体形成的球体相切的平面上，立方体也被投影到这平面。他在平面上所能看到的足够他去理解这个立方体：他能数顶点、棱、面，理解它们的位置关系。随着球体的旋转，面的变换会给他更清晰的想法。

文章插图
这就是在这章第二部分展示的方法。首先我们以三维生物的视角展示场景：多面体、膨胀的多面体、球体、在蜥蜴的平面上的投影。然后我们采用平面蜥蜴的观点，他们只能看见投影。埃舍尔要求利用我们的想像力以判断我们到底看见的是哪种多面体。达成这样的观察功力还很不容易，但是这与切片方法相比还是看起来容易些。
在下面的章节中这种方法很有用。记住：接下来你是一个对第四维一无所知，只能感知三维的人类！某位能看见第四维文明的人会努力向你展现他所见到的，同样，会使用切面与投影的方法。