数学漫步：活在二维空间“文明”怎样观察三维世界？( 二 ) _空间

这些物体称作 Polyhedra（多面体），源于古希腊语 πολ?εδρον，由poly-（词根 πολ??，多）和 -hedron（?δρα，基底、座、面）构成，即意为“多面体” 。视频中并不打算讨论多面体的复杂理论，仅从中挑选出五个美的物体把它们展示给蜥蜴，或者实际上告诉一条蜥蜴一个“足球”是什么模样。
存在许多多面体（实际上是无数多个）但是只有五个是凸正多面体，又称柏拉图立体。再次说明，我们不想追究这个词的定义的细节，仅从观察上来说这五个正多面体的中的每一个的每个面都是一样的(比如正十二面体的每个面都是正五边形，所有的边都有相同的边长)，所有的顶点也都相同(比如立方体的每个顶点都引出三条棱) 。这些特性足够（几乎）描述这五个我们将展示给蜥蜴的物体。

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这些多面体是算是最被数学家宠爱的物体中的一些，因为它们象征着对称，然而这一点在影片中却并未被提及。
四. 三维物体到二维空间的切面关于向蜥蜴解释什么是正四面体的第一个想法是把正四面体做切片。这个想法非常老了，埃德温·艾勃特经常在他的《平面国》里使用这种方法。这正是 X 射线断层照相术使用的方法，一种医学成像技术：一片一片地检查人的身体然后用连续的截面图像重建三维图像。
当一个多面体在空间中运动，遇到蜥蜴的平铺纸面时，多面体与平面的截面是个多边形。当多面体运动，多边形变形，当多面体穿过平面时它最终消失(假设多面体能穿过平面，就像法国二十世纪小说家马塞尔·埃梅的“穿墙术”！) 。

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蜥蜴只看见动态变化的多边形：关注他们如何变形。通过一点经验他们（也许）能最终对多面体有个直觉的感受，即使他们不能在空间中看到多面体。
这一切引发出许多问题。比如，平面上的蜥蜴如何看到一个多边形？确实困难！令人难以回答他们。但是如果再想想，你会发现我们在三维空间面临同样的问题。我们如何看见三维物体？要知道它们在我们视网膜上的投影只是二维的。存在许多种可能的回答。首先，我们的两只眼睛看同一物体得到的影像并不是严格一模一样的，我们的大脑利用这些二维图像重建三维图像。此外，阴影、光线等的效果给了我们物体距离的额外讯息。
最后，或许也是最重要的，我们对周围的世界有生活经验：当我们看见一颗足球的照片，我们能认出它是足球，即使图像是二维的，因为我们看过触摸过其他足球。所以我们大可假设我们的蜥蜴有两只眼睛，对他们世界的经验也十分丰富。如果一个六边形出现在他们面前，他们完全有能力辨认出。在艾勃特的书里，这些问题都被处理得很有趣。

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在影片中我们看到正多面体穿过平面，截面/多边形随之变化。由于截面的形状取决于多面体穿越平面的方式，这导致这种形变不容易被预测。例如，比如一个立方体以一面平行于平面的方式穿越平面，我们很自然地看到截面是正方形。但是如果我们以一个穿过其中心垂直于一条对角线的平面去截立方体，我们得到的截面是一个正六边形…这个就不那么显而易见了！
在观看完所有这些多面体穿越平面之后，埃舍尔为你准备了一些练习。他给你展示一系列多面体平面截面，你必须指出这是什么多面体，就如同你是一只生活在平面里的蜥蜴。祝你完成这些测试，要知道它们并不简单(正如你将看到的) 。截面方法有它的局限，我们要寻找其他方法…… 。
五、球极平面投影这是另一个主意，正如下面叙述的，也许看起来很奇怪但十分有用(当轮到我们成“扁平的”时，我们被限制制在三维空间而有人努力给我们展示他所在的四维空间的物体……) 。我们学习了如何把一个球体投影到平面上，而且我们发现甚至即使投影改变了长度，它仍然显示了一个相当准确的地球地理的图像，尤其当观察地球在平面上滚动时。
我们能试着同样在平面上滚动五个多面体，球极平面投影他们。问题是我们不可能滚动一个立方体，因为它不是圆的！所以我们膨胀立方体使它们像球体这样我们就能滚动它们的。比如，我们以球内接立方体开始。
立方体的表面由六块正方形组成。我们把六块面从圆心径向地投影到球面上。你也可以说我们是膨胀了一个立方体直到它变成一个球。球体现在由六个区域覆盖，而不再有正方形，当然，它们的边是弧形。这样我们得到的这个圆滚滚的“立方体”有个优点，我们能像滚动球一样滚动它。