数学漫步：如何理解四维空间中的物体？ _空间

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文章转自dimensions-math.org，[遇见]有修改补充，转载请注明.
瑞士数学家路德维希·施莱夫利(1814-1895)介绍了存在于四维空间中的物体，让我们见识到了一系列奇形怪状的四维正多面体。它们有着 24、120、甚至 600 个面!
一、路德维希·施莱夫利与其它人四维空间的概念并非仅源于一人，而是靠着无数前人的创造力，才得以在数学的领域中发展出完整的架构。伟大的黎曼(Riemann)即属众多维几何的奠基人之一。黎曼将在该系列视频最后一章登场。毫无疑问地，他对于四维空间于十九世纪中叶时期发展成之概念，亦有透彻的了解。

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▲ 三维多维几何的奠基者：凯莱、施莱夫利和黎曼(自左向右)
但是我们请来了施莱夫利的主要原因是这位开山始祖如今几乎已遭人们遗忘，甚至于数学圈内也不例外。他是最先能领会到此概念的人之一：即便我们身处的空间似为三维，我们仍可作出对四维空间的想像，或甚至证明有关数学四维方面的几何定理。
对他而言，虽然四维空间是一个完全抽象的概念，但在长年的深入研究之后，他一定会觉得处在四维空间比在三维空间中自在多了！他的重要著作为发表于 1852 年的《Theorie der vielfachen Kontinuit?t》（多重连续体理论），开始了多维空间线性几何的研究。在当时，了解这篇论文的重要性的人可谓寥寥无几。一直到二十世纪初期，数学家们才领会到此篇巨著的意义。
四维空间有许多年一直呈现着一种神秘、不可能的样貌，就算于数学界中也不例外。对一般人来说，四维空间常使人联想到的是充满违反现实情节的科幻小说，或者有时候是爱因斯坦相对论：“第四维不就是时间吗？” 。然而，这样子是把数学跟物理上的问题混为一谈。我们将会在短时间内回来讨论这一点。首先，让我们设法像施莱夫利一样地来理解纯粹由想像而生的四维空间吧！

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▲ 《星际穿越》影片中所呈现的高维空间
二、维度的概念施莱夫利用黑板来回顾我们在前面章节中学过的几个概念。一条线是一维的，因为我们只须一个数字即可定位某点的位置。这个数字称为该点的横座标，或是 x 座标。如果原点左边取负值，而于右则正。
黑板的平面是二维的，因为如欲确认其中一点的位置，可在黑板上画下互相垂直的两条直线，然后再描述出该点相对于这两根轴的位置即可：它们即为横座标和纵座标（x 座标与 y 座标）。

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对于我们所处于的空间，可再加画第三条垂直于黑板的轴线。我们当然不太可能找得到可以把直线画到黑板外面去的粉笔，但是我们都已经准备好要开始四维世界的旅程了，理当需要神奇粉笔的帮助才行！
如此一来，我们就可以用三个数字（一般设为 x、y 与 z 来描述空间中任何一点的位置，而这就是为什么我们要说空间是三维的原因。当然，我们还会想要继续往下推广，但是想要画出垂直于原本的三条直线的第四条轴是不可能的；这是理所当然的事，因为我们所处于的自然空间是三维的，故我们不应在此寻找四维空间，而是凭借着我们的想像力…… 。
施莱夫利提出了几种可使我们了解四维概念的方法。就如同向扁平蜥蜴解释三维空间一般，在这可用上的解释方法也不止一种。透过多个不同方法的组合，我们便得以一览四维空间。
第一种方法是最实际的一种。我们直接规定四维空间内任意一点只不过是四个数字的集合： x、y、z、t 。这种方法的缺点是很难用可视化展示。不过，这种方法完全符合逻辑，并且数学家所接受。透过此法，我们就可以参考二维与三维空间，尝试如法炮制地给出各种四维空间之物体的定义。例如，复制空间内一平面的定义，我们可以定义一个（超）平面为一组点集，其所有点的座标 ( x , y , z , t )皆满足型如 ax+by+cz+dt=e 的线性方程。在这种定义底下，我们就可以发展出一整套符合逻辑的几何、证明定理等等。事实上，这是唯一可以严谨地处理高维空间的方法。但该视频并不以“过度严谨”为目的，而是旨于“可视化展示”出四维空间，并且解释一些数学家对它的直观想法。
施莱夫利接着给出一种“类推”的解释。其构想是：认真地观察一、二与三维空间，注意其中某些现象，然后假定这些现象在四维空间中仍成立。此过程颇为困难，且并不完全适用于所有情况。一只离开了自己的平面国度，进入了三维空间的蜥蜴定要做好遇到惊喜的心理准备，而需要一段时间适应。对于藉由“类推”的方法，进入了四维空间的数学家也是如此。施莱夫利以线段、等边三角形、正四面体为例。我们发现到这些物件之间存在着某种类推关系，而毫无疑问地，正四面体在某些方面上是由将等边三角形推广到了三维空间的情形。