数学漫步：古希腊数学家喜帕恰斯球极平面投影及三个性质 _数学家

古希腊的天文学家喜帕恰斯描述如何用两个数来定位球面上上任一点。他接着解释了球极平面投影：我们要如何在一张平铺的纸上绘制出整个地球呢？

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▲ 拉斐尔代表作之一《雅典学院》中的喜帕恰斯
一、旁白喜帕恰斯(Hipparchus) 是我们故事的第一位主角，但是我们不能对他说的话太认真！他自称为地理与天文学的创始人。这似乎有点言过其实；谁能真正地如此断言呢？难道旅行者从不描述山水风情，牧羊人不曾仰望夜空繁星？一门学问，是很少只由一人所独创的。然而，喜帕恰斯仍应被尊为古时最优秀的智者之一。h

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▲ 托勒密及他编制的宇宙图
本章第二位出场的人物是三世纪之后生于西元 85 年，卒于 135 年的托勒密(Ptolemy) 。这位众所周知的天文与地理学家是受到喜帕恰斯的研究成果所启发的。不过，至于这对他影响有深远，历史学家们的意见则不甚相同。托勒密到底是不是取用喜帕恰斯的观测结果，而非自行测量？我们把这个难题留给专家们。
二、经纬喜帕恰斯和托勒密将于第一章告诉我们什么事呢？他们将解说我们现今称为坐标系统(coordinate system) 的概念。
我们早知道地球是圆的。而在甚至还没有任何人环绕过地球以前，聪明的希腊几何学家就已经知道怎么准确地测量它的周长。
地球每天绕着一条轴心自转一圈。这条轴心连接了各称为北极(north pole) 与南极(south pole) 的两点。每年，地球也会绕着太阳公转一圈，但喜帕恰斯和托勒密都不知道这个事实；他们还以为是太阳绕行着地球。一直到哥白尼所处的十六世纪时，人们才开始了解原来是地球正在绕行着太阳。
想要找出地球的确切形状就较为费时，事实上，直到几十年前人们才能用公分以下的精度来测量其各处之长短。地球并不是一个非常端正的球体：它在两极处稍微扁平。不过，它的极半径（6536 km，看看这样的精确度！）与赤道半径（6378 km）已经相当地接近了。
喜帕恰斯先请我们把地球假设为一完美的圆球，接着讲解了一些基本球面几何学。根据定义，球面是所有与球心(center)等距的点之集合。一条通过球心的直线与球面相交于两点，且为一球面之对称轴。我们可以把这条直线当做地球的转轴，并把两个交点分别称作北极和南极。

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通过球心的一平面与球面交于一称作大圆线(great circle) 的圆周。大圆线把球面分割成两个半球(hemispheres) 。若此通过球心的平面与转轴垂直，则它们相交而成的圆周就称为赤道(equator)，而两个半球则分别称为南半球(southern hemisphere)与北半球(northern hemisphere) 。通过转轴的平面与球面相交之大圆线将通过南极与北极。这些大圆线都各由两个连接两极的半圆周所组成；这些半圆周称为经线(meridians) 。除了极点之外，地球上的每一点都只在一条经线上。今因假设地球是正球体，故所有经线皆等长；它们的长度都等于北极在球面上与南极之间的最短距离（约 20000 km）。
有一条经线被定义为地球上所有经线的起始处。它通过英国的格林尼治(Greenwich)天文台；不过，我们其实也可以任取其它线为起点（而法国人将非常乐见它经过巴黎！）。所有其它的经线则由被称为**经度(longitude) ** 的角度（于下图中被标示为红色）所形容。在地理学中，一般规定这个角度取值范围为格林尼治经线以西或以东 0 到 180° 。

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垂直于轴心的平面把球面切割成互相平行的纬线(parallels) 。纬线将会随着离极点越靠近而变得越短小。两极中间的赤道是相当特殊的一条纬线；它是所有纬线中最长的一条。其余的纬线皆位于赤道以北或以南，且并各由被称为纬度(latitude) 的角度（图中标示为绿色）确认。
除了两极之外，地球的每一点都是一条经线与一条纬线的交点，故我们可以给出每一点的经度与纬度。反之，若我们知道了地球上一点之经纬度数，就可以找到它的位置。
重要的是，我们需要两个数字方可确定地球上一点的位置。所以，我们说地球表面是二维的。同理，桌子或是足球的表面也是如此。
当然，我们位在仅约为地表的地方而已！例如，人们搭乘飞机时，单凭经度和纬度就不再足以精准地描述出位置了……我们还要知道离地的高度。因此，如果想要确认我们在地球外层空间中的位置，就必须用上三个数字。于是我们说空间是三维的。未来我们还会再提到这一点。