数学漫步：古希腊数学家喜帕恰斯球极平面投影及三个性质( 二 ) _数学家

三、投影喜帕恰斯于本章第二部分中讲述了数学中最重要的概念之一，即投影(projection) 。地球是圆的，但若我们想要编制地图册，我们会希望能将它表示于一平面（例如一张纸）上，以制作地图。

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有很多种绘制世界地图的方法。一般而言，我们会先选定一地点 p，然后再将这点与平面上一点 F(p) 相配。如此一来，我们就将该地点于平面上表示出来了。地图学的精髓在于如何选定表示法 F；不同的选择将会彰显出一地域之不同的特征。等距映射将是最理想的选择。两点 p 与 q 之间的距离，与在它们经过等距映射之后被表示于平面上的两点 F(p) 与 F(p) 之间的距离，是完全一样的。但不幸的是，根本不存在这种映射，而我们只得想办法退而求其次。例如，有些映射可以尽量忠实地呈现出一些地形的样貌。地图学是一相当迷人的学门，其历史常与数学史同样地源远流长，又拜现代精准的测量法与电脑科技所赐，近来还获得十分重要的进展。
【数学漫步：古希腊数学家喜帕恰斯球极平面投影及三个性质】

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喜帕恰斯介绍给我们的映射有个深奥的名字：球极平面投影(stereographic projection) 。时至今日，除了用于描绘极区之外，制作地图时已多半不采用球极平面投影了。不过，随着影片的进行，我们将会渐渐地理解到这种投影法于数学上有着深远的影响，且事实上极具用处。
它的定义很简单。我们考虑一与地球在南极相切的平面 P 。对球面上(除了北极之外)的每一点 p，我们画出一条连接北极与点 p 的直线 pn 。这条直线与切平面 P 交于另一点 F(p) 。球极投影法就因而将球面（除了北极外）在平面 P 上表示出来了。
谁发明了这个投影法？这又是一个备受争议的话题…有些人认为是喜帕恰斯，又有些人觉得是托勒密，还有些人主张的确是喜帕恰斯发明的，但是他并不了解它的性质。
球极投影法有三个息息相关的基本性质。
▌第一个性质
球面上的一个圆经过球极投影法在平面上的变换是一个圆或一条直线。影片里清楚地说明了这个性质。如果您耐心地看到最后一章，您就可以知道其原因何在。

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为了说明此性质，喜帕恰斯把地球放在切于南极点的平面上滚动。滚动会使南极点离开此平面。同时，投影也不再是由北极投射而下，而是从球体的「最高点」投射到接「最低点」的切平面上。虽然把地球这样滚来滚去的想法也许是不切实际的，但是我们可以因此得到一些很不错的投影图！
▌球极投影法的第二个性质
它保有原来的角度。意即，球面上任意两条曲线的交角皆不会随着投影而改变。这一点并没有在影片中被加以说明。

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您可以在上图中发现，经线与纬线在经过投影后是交于直角的，就跟它们在球面上的情形一样。这个特质对于正在绘制路线图的领航员特别有用……在地图上用工具量出来的角度，就与实际的角度完全相同，这对他们来说真是好极了。
▌球极投影法第三个性质

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尽管此投影法并不完完全全保距，它会「尽其所能」地做到这一点。设球面上一点为 p，另设点 p 周围的一块小区域为 R 。球极投影法会把这块区域 R 映射为一块点 F(P)周围的一块区域 F(R) 。R 越小，F 就会把 R 的原形保留地越完整。用数学的语言来说就是：存在一所谓 R 之映射缩放常数 k，使得 R 内任意两点 q1 与 q2 之间（在球面上）的距离与点 F(q1 ) 与 F(q2 ) 之间（在平面上）的距离之比皆近似于 k 。这里的「近似」是什么意思？它的意思是说，若 R 越小，则距离比就会越接近 k 。即，大致而言，这个映射会保有极小区块之形状，故此映射是共形(conformal) 的。这是球极投影法最重要的一个性质：若仅欲投影所在地附近之小块区域，球极投影法已几近完美。

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在结束第一段旅程之后，让我们重温一下喜帕恰斯教了我们什么：球面是二维的，因为我们可以用经度与纬度两数确认球面上的点位于何处。还有，球极投影法对于将球面表示于平面上之工作非常地有用…… 。