拉马努金和哈代：两位数学巨匠的惺惺相惜 _小知识

一个无法表达神的思想的方程，对我而言毫无意义。——斯里尼瓦瑟·拉马努金

文章插图

【拉马努金和哈代：两位数学巨匠的惺惺相惜】本文节选自图灵《悠扬的素数：二百年数学绝唱黎曼假设》, [遇见] 已获授权许可.
到了 1914 年，拉马努金已经身在剑桥大学了。从此之后，便开始了数学史上最伟大的合作之一。每次提到和拉马努金合作的那段岁月，哈代总是难以抑制内心的兴奋。他们纵情交谈着各自的数学思想，都深深折服于彼此的数学观点，也都为找到一个热爱数字的志趣相投之人而欣喜不已。到了晚年，哈代回忆过往时，总是将与拉马努金合作的那段岁月看作自己生命中最快乐的时光，并将他们的结合形象地描述为生命中最浪漫的事儿。
拉马努金和哈代的合作模式就像一个典型的审讯小组：一个唱红脸，一个唱白脸。唱红脸的那个天性乐观，总是充满奇思妙想；而唱白脸的那个则消极悲观，总是怀疑一切，不断寻找真相。在审问他们共同的“数学嫌犯”时，拉马努金需要哈代批判性的眼光来审视他那些天马行空的想法。

文章插图

然而，求同存异并非易事，文化冲突也在所难免。哈代和利特尔伍德坚持严格的西方式证明方式，而拉马努金脑海中不时迸现出的新理论，其灵感则源于“娜玛卡尔女神的启示” 。这位新同事为何会突然冒出这些想法呢？哈代和利特尔伍德常常苦于找不到答案。哈代评论道：“几乎每天，他都会向我展示一些新理论。要是总想着弄明白他是如何发现诸如此类的理论的，可真伤脑筋啊！”
拉马努金要面对的不止是文化冲击。在一个陌生的世界，他需要独自面对一些陌生的面孔，这令他有些孤独。他找不到什么素食可吃，于是给家里写信要酸角果和椰子油。如果这里没有他钟爱的数学，那么他是不可能适应这里的一切的。内维尔这个他在印度时就信任有加的同事，这样描述他在剑桥大学的那些日子：“在一个陌生的国度生活，使他备受煎熬，内心痛苦不堪。每天要面对一堆叫不上名字的蔬菜，他有些食之无味。鞋子也磨脚，毕竟他已经光脚生活 26 年了。但他天性乐观，进入数学世界能让他忘却一切烦恼，开始一个人的狂欢。”他失望地扔掉那双英国鞋，每天穿着拖鞋漫步在校园里。但是，一旦走进哈代的房间，打开笔记本，他就一头扎进那些公式和方程中。哈代的目光也逐渐被拉马努金那些散发着迷人光芒的定理吸引住了。在印度，拉马努金找不到一个可以与之进行数学对话的人。来到剑桥大学后，他又遭遇了文化冲突。但是这都不重要，因为他终于找到了可以和他一起探索数学世界的那个人。
哈代发现，很难让拉马努金做到兼顾直觉和证明。他担心，如果自己过于强调让拉马努金证明他的结论，可能会打击他的自信心，或者使他的灵感之源枯竭。他给利特尔伍德布置了一个任务，就是让拉马努金熟悉现代的严谨数学。但利特尔伍德发现，这是一个不可能完成的任务。无论利特尔伍德费了多少唇舌，向拉马努金介绍所谓严谨数学为何物，拉马努金都会插入一些新观点，使利特尔伍德偏离原有的轨道，不能按计划进行下去。
尽管提出精确的素数统计公式使拉马努金开启了英国之旅，最终使他留名于世的却是他在相关领域做出的贡献。从哈代和利特尔伍德那里，他听到了“素数天生带有恶意”这类悲观的论调。因此，在素数的探索上，他放慢了脚步。人们只能猜测，拉马努金一定是发现了什么，才使他不像西方人那样对素数充满恐惧。他继续和哈代一起探索素数的相关性质。他和哈代提出的观点，将有助于推动哥德巴赫猜想研究取得突破性进展。哥德巴赫猜想就是每个偶数都能写成两个素数之和。他们历经一番曲折，才首次取得这一进展。但这源于拉马努金秉承的天真想法：必定有精确的公式来描述诸如素数个数这样重要的数列。在他宣布素数公式的信件中，他写道，他相信自己知道如何生成另一个先前未被研究的数列，即划分数（partition number）。
如果要把 5 块石头分成几组，共有几种可能的方法呢？组数范围是 1~5 。这称作数字
5 的划分。如下图所示，共有 7 种可能的划分方法。