从“雪花为什么是六边形”到“美术、建筑和哲学中的图形” _几何

学过几何的人，大抵对几何证明深恶痛绝，绕来绕去的图形和线段，简直让人眼花缭乱。
当年我上学的时候，虽然对几何比较擅长，证明题至今仍然记得很多，然而，要想将这些技巧和知识转化成教授给学生们的语言，自然还是需要费劲一番脑筋的。我认为，想要攻克它，应当得从图形的本质开始着手。
图形的本质是什么？最初人类发现图形的时候，图形其实是从生活中的各种现象中总结出来的。因此，想要弄清图形的本质就应当继续回归到生活中去循迹。而这本书恰巧也是遵循了这个思路，与我的想法不谋而合。只不过，全书是以“雪花为什么是六边形”这个问题进行展开，而我的问题则更多：
1）埃舍尔的画为什么充满了数学感？
2）伊斯兰建筑上的图形如何解读？
3）五角星、圆形、条纹；对称、旋转、连续，它们存在本质上的联系吗？
埃舍尔：飞鸟与鱼小学课本上令我印象最深的画作之一是荷兰画家埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）的作品。其中一幅上方飞着鸟，而到下方就变成了鱼，神奇之处不是飞鸟居然变成了鱼，而是变得过程让人很难看出痕迹，让人感叹，飞鸟与鱼居然如此相近。

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那么，飞鸟与鱼究竟如何产生了图形上的关联呢？
回到原画，我们可以发现：飞鸟脖子的弧度恰巧是鱼的脊背的弧度；飞鸟的尾巴，恰巧是鱼的尾巴的弧度；而飞鸟的翅膀与屁股，恰巧与鱼嘴和面部相吻合；而鱼的尾巴，很巧合地与飞鸟的尾巴与翅膀相对应。
这种图形上的关联不易发现，就像地球板块漂移学说那样，如果不是善于发现图形关联的魏格纳，恐怕培根、修斯等人的推论至今仍然很难让人们信服。各大洲的图形关联虽然不能作为绝对性的论断证明，但作为助攻型选手，似乎其重要性已经超过了其他任何能够证明板块漂移学说的依据。我想，这恐怕也就是图形的魅力。
在数学和几何的知识范畴内，以及日常生活中，这样的图形贴合也经常见到。比如七巧板的拼凑，比如铺地砖，比如货物的装箱。回到数学和几何的层面，其实研究的核心问题是如何划分圆周的问题。
想要地砖铺的毫无缝隙，那么拼接的图形的连接点就必须是360度。比如可以是4块正方形，正方形四只角的角度是90度；也可以是正六边形，其角度为60度；又或者是“工”字形，由两个90度和1个180度组合而成。而飞鸟与鱼，其实也是如何组成圆周的问题，只不过这个时候，再是以测量度数着手，而是从整体来看待无缝拼接这件事情。
《迷人的图形》这本书整体浅显易懂，对于那些有一定几何基础的人来说，可能显得不值一提。然而，我觉得这本书的最大魅力之一便是从生活中挑选出常见的、看似没有关联的图形进行分类总结，然后从数学的角度归纳其中的一般规律，使得人们看待日常生活中的普通事物有了另外一个角度的理解，而这种理解，往往让生活变得简单易懂且活泼有趣。
伊斯兰建筑纹样：对称与连续，圆与方但凡去过伊斯兰地区旅行的人都对伊斯兰的建筑和其上的纹样产生深刻印象。不论是门楣、苍穹亦或是庭院，随处可见的纹样让人感到繁琐，但繁琐之中又让人感到美丽。这是为什么呢？

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伊斯兰建筑的规律：宏观层面来看，整体纹样是对称的；细部以旋转对称为主；连续型图案以装饰和分割图案为主。

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伊斯兰建筑纹样的另一个特征是：旋转对称纹样以圆形或近似圆形的正多边形为主，连续型纹样以方形或线性分布为主。
《迷人的图形》中花了很大的篇幅来介绍对称，它把对称分为镜像对称和旋转对称。前者指的是沿着一条线左右对称，也就是数学书上所说的“对称”；而后者则指的是以中心原点为基础，旋转固定度数之后能够与原图重合，也就是数学书上所说的“中心对称” 。这样一来，伊斯兰建筑的纹样便很好去理解了。
从几何角度来看，伊斯兰建筑上的纹样主要分为对称与连续两种。其中，对称分为如上所述的镜像对称与旋转对称。从宏观层面来看，伊斯兰建筑强调左右对称，大门开在正中间、窗户左右以相同的数目排开、大门的纹样左右两扇完全相同。而从建筑细部来看，花草和几何纹样均遵循旋转对称的方式排列，尤其是穹顶的设计最为典型。