恋上古埃及分数：有理数都可以写成不同的单位分数的和 _有理数

恋上埃及分数1．追本溯源
传说古埃及一个老人临死前，立下一分奇怪的遗嘱，遗嘱说：家中有十一头驴，将在他死后分给三个儿子，一半分给长子，四分之一分给次子，六分之一分给小儿子。
老人死后，三个儿子为怎么分配驴，而发愁。十一头驴的一半是五头半驴，总不能将驴杀了吧，正在无奈之际，只见有一个头戴穆斯林民族白色缠头，身穿白袍，倒骑着一头小毛驴的人经过，他不就是那个大名鼎鼎的爱捉弄黑心商人、贪婪法官、伪善财主的阿凡提吗？兄弟仿佛遇到了救星，愁眉变笑颜。兄弟们立马叫住了阿凡提，并讲述了事情的经过。

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阿凡提听后，把自己的毛驴牵到十一头驴中间，然后便开始按老人的遗嘱，分六头驴给老大，刚好是一半，然后又分三头给老二，也刚好是四分之一，最后分二头给老三，也刚好是六分之一。总数是十一头驴。然后剩下的头就是阿凡提本人的。
兄弟仨人非常感激，这个故事代代相传。直到今天 "阿凡提"这个名字在埃及都家喻户晓，甚至在人们的日常生活中经常能听到。它演变成了一种对人的尊称，意思相当于"先生" 。
实际上故事中的道理用数学语言表述，即是

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古埃及人，喜欢用几个分子是1的分数之和来表示有理数，这种分子为1的分数，后来就称作埃及分数，也叫单位分数。

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▲ 埃及分数表示法(图自维基)
埃及分数有一些有趣的性质，如

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更有趣的是下面是如下的等式：

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式中右边前几个分数中的分母，是最小分数之分母除去1与自身之外的所有的约数。如果两边同时乘以最大的分母，我们发现这个最大的数，是除去自身之外的所有约数之和。这种整数最早是公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。
【恋上古埃及分数：有理数都可以写成不同的单位分数的和】

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毕达哥拉斯曾说:"6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。"有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说:"6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天;事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了" 。
如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数" 。完全数(Perfect number)，又称完美数或完备数。
数学家欧拉曾推算出完全数的公式:如果 p 是素数，且 2^p-1 也是素数，那么 (2^p-1)2^(p-1) 便是一个完全数。2^p-1很明显是一个梅森素数。
是不是越来越有趣了！难怪阿基米德也研究过单位分数。1950 年（这个问题与我们中华人民共和国差不多同岁就好）Paul Erd?s（保罗·埃尔德什）猜想:对于 n>1 的正整数，方程

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恒有正整数解。这就是著名的埃及分数(Egyptian fraction)问题。

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Stralss进一步猜想，当n≥2时，方程的解x，y，z满足 x≠y，y≠z，z≠x，x<y<z 。
1963年柯召，孙奇，张先觉证明了Erd?s猜想与Stralss猜想等价。

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有些朋友可能不以为然了。就这样一个小学初中的分数问题，是一个著名的问题？我说是的，先来说下Stralss 。他可是爱因斯坦的助手，德国出生的美国数学家。对于Erd?s，（埃尔德什，跟我国鄂尔多斯高原同名，一看这个名就有一种辽阔的感觉）有着"现代的欧拉"、"数学莫扎特"之美称。他跟中国数学家，柯召是好友。熟悉数论的朋友，应该都会了解柯召是何许人也。想必不少人用过他跟孙奇编的数论教材吧。另外还有一个美丽的数学爱情故事跟Erd?s有关。