欧氏几何是唯一宇宙空间表现形式？三位数学家和他们的几何新世界 _数学家

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本文节选自图灵新知《最后的数学问题》, [遇见] 已获授权许可.
18世纪后半叶，一些数学家为“欧几里得几何是唯一一种宇宙空间表现形式”这一思想的葬身之棺钉下了最后一颗钉子。而这一荣誉应当由三位数学家来分享，他们一位来自俄罗斯，一位来自匈牙利，还有一位来自德国。
奇异的新世界第一位公开发表论文，从整体上阐述这门全新几何学的人就是俄罗斯数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky ， 1792—1856 ，图 6 - 3）。这是一种建立在像马鞍一样的弯曲表面上的几何。在这门几何学中（今天我们称为双曲几何），替代欧几里得第五公理的表述就成了如下的形式：“在平面上给定一条直线和不在直线上的一点，经过该点至少能作出两条与给定直线平行的平行线。”

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▲ 图 6 - 3 罗巴切夫斯基
罗巴切夫斯基几何学与欧几里得几何学还有一个重要的区别：在欧几里得几何中，三角形的内角和总是 180°（图 6 - 4b），而在罗巴切夫斯基几何中，三角形的内角和总是小于 180°（图 6 - 4a）。罗巴切夫斯基的学术观点主要发表在《喀山公报》上，而这份杂志在当时并不出名，所以他的理论完全没有得到应有的重视。直到 19 世纪 30 年代，有关罗巴切夫斯基几何的理论被翻译为法语和德语后，才引起了人们的广泛关注。在此之前，匈牙利年轻的数学家鲍约·亚诺什（János Bolyai ， 1802—1860）并未看到罗巴切夫斯基的文章，也在 1820 年左右系统地阐述了与罗巴切夫斯基几何类似的几何学理论。出于年轻人特有的激情，他在 1823 年给父亲的信中写道：“我发现了一些精美绝伦的东西，这让我无比震惊……我从一片虚无中创造了一个全新的世界。”他的父亲鲍约· 法卡斯（Farkas Bolyai）也是一名数学家，图 6 - 5 是他的肖像。

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▲图 6 - 5 鲍约·法卡斯
在 1825 年，亚诺什已经完成了研究，准备让父亲看看自己关于这门新几何学的理论著作的草稿。亚诺什把这份手稿命名为《空间的科学绝对性》。虽然年轻的亚诺什兴高采烈，但他的父亲却不能确定这种理论是否正确。不过，法卡斯还是决定把儿子的新几何作为他本人的两卷本著作的附录一同出版——法卡斯的书以研究经典几何、代数和分析学的基础为主要内容。据说，这本书写作手法十分有趣，书名就叫《为好学的年轻人所写的关于数学基本原理的随笔》。该书出版后，法卡斯送给了他的朋友高斯（图 6 - 6）一本，而高斯不仅在当时就被认为是最杰出的数学家，并且被后世许多人推崇为人类有史以来最伟大的数学家之一，足以和阿基米德与牛顿并肩。可惜，由于爆发了霍乱，送给高斯的那本书在混乱中遗失了，法卡斯又给高斯送去了另一本。高斯终于在 1832 年 3 月 6 日给法卡斯回了信。不过，他的评论与年轻的亚诺什所期望的并不完全一样。

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▲(a)内角和小于 180° (b)内角和等于 180°(c)内角和大于 180°图
“如果我一上来就说，我无法称赞这本著作，您也许会感到十分惊讶。但除此之外，我的确没法再说别的了。这是因为如果我表扬它，就是在表扬我自己。事实上，这本书的所有内容——您儿子的思想和他所得出的结论——与我的想法几乎一模一样。而在过去的 30 或 35 年里，这些想法一直占据着我的一部分思考。所以我有些茫然无措。迄今为止，我从未把这些结论写下来，而且我当时想，在我的有生之年都不会把它们拿出来发表。”

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▲图 6 - 6 高斯