什么是数字的基石?使得千年来数学家们前赴后继地痴迷对它研究
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千年以来,这些不可拆分的素数依然不断展现出新的数学奥秘 。
2018 年 3 月 20 日挪威科学与文学院宣布,将 2018 年度阿贝尔奖授予美籍加拿大数学家罗伯特·朗兰兹(Robert Langlands),以表彰他在数学领域所作出的终身成就 。他提出的最终以他名字命名的数学理论“朗兰兹纲领”(Langlands program),通过与素数的共同联系将几何学、代数学和分析学等概念结合起来,在数学的众多分支领域之间架起了“桥梁” 。
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【什么是数字的基石?使得千年来数学家们前赴后继地痴迷对它研究】▲ 罗伯特·朗兰兹,著名的朗兰兹纲领的提出者 。1996年他获得了沃尔夫奖 。在2007年获得了邵逸夫奖数学科学奖 。2018年获得阿贝尔奖 。
当时挪威国王将为朗兰兹颁奖,致敬这项最新的科研成果 。素数,可以说是数学领域中最庞大、最古老的数据集,数学家们历经 2300 年的努力一直在不断探索它的奥秘 。那么是什么吸引无数杰出的数学家,数千年来前仆后继地投身于素数研究中?
寻找素数的历程为了研究素数,数学家们将正整数通过素数筛选算法,直至仅剩素数保留下来 。在 19 世纪,用试除法来筛选获得了数百万以内的素数列表 。当然,现代计算机可以在不到一秒钟的时间内找出数十亿以内的素数,但所用筛法的核心思想 2000 年来从未改变 。
公元前 300 年,亚历山大里亚的数学家欧几里得描述到:“素数是只能用 1 来计数的数 。”这意味着素数不能被除了 1 以外的任何小于自身的数整除 。并且为了保证整数的唯一分解,数学家们并不把 1 看作素数 。此外,欧几里得还证明了素数的个数是无限的、没有穷尽 。
公元前 200 左右,古希腊数学家埃拉托斯特尼(Eratosthenes)提出了素数的快速筛选法,这是一种简单且历史久远的筛法,用来找出一定范围内所有的素数 。
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▲ 在 2~100 范围内进行 2,3,5,7 筛选后留下的所有素数
素数筛法的思路是这样的:首先,留下 2 ,把 2 的倍数都划掉;2 后面第一个没划去的数是 3 ,留下 3 ,把 3 的倍数都划掉;然后留下 5 ,把 5 的倍数都划掉;再留下 7 ,把 7 的倍数都划掉 。如此这般,将最小的四个质数——2,3,5,7——的倍数依次筛掉 。此时,下一个未被筛掉 11 的平方已经大于 100,所以停止 。这样在 2 到 100 之间的整数只执行这 4 次筛选,最终只留下了素数集合 。
从 1 ~ 100 之间的数字中筛除 2, 3, 5 和 7 的倍数,留下就是素数 通过 8 次筛选步骤,可以分离出 400 以内的全部素数 。通过 168 次筛选,可以分离出 100 万以内的全部素数 。这便是埃氏筛法的强大之处 。
为素数制表的早期代表人物是英国数学家约翰·佩尔(John Pell),他致力于将有用的数字制成表格 。其研究动力来源于对古希腊数学家丟番图(Diophantos) 所提出的古老算术问题的研究热情,还来自于对数学真理进行系统整合的个人追求 。由于他的不懈努力,在 18 世纪早期 10 万以内的素数得以广泛传播 。截止 1800 年,各种独立的研究项目列出了百万以内的全部素数 。
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▲ 从左至右, 1611-1685 英国数学家约翰·佩尔,1741-1808 德国数学家卡尔·弗里德里希·兴登堡,1793-1863 奥地利数学家雅各布·菲利普·库利克
为了将这项繁琐的筛选工作自动化,德国数学家卡尔·弗里德里希·兴登堡 (Carl Friedrich Hindenburg)使用一种可调节的滑块,可以一次性排除整张纸上的所有倍数 。另一种技术含量低却高效的方法是使用模版来定位特定素数的倍数 。到19世纪中叶,数学家雅各布·库利克(Jacob Kulik)开展了一项雄心勃勃的项目:找出 1 亿以内的所有素数 。但直至库利克逝世,这些工作还没有完成,不过已经找出来的素数填满了 4212 页表格 。
如果不是"数学王子"高斯(Carl Friedrich Gauss)决定对素数自身进行分析整理,19 世纪这样一套“大数据”的结果可能也仅限于用做素数参考表 。
17 世纪,对数表的诞生大大推动了天文、航海的蓬勃发展 。一本作为给高斯生日礼物的对数工具书后附录了一张300万以内的素数表,这个在旁人看起来无实际用途的表格却激发了他的强烈兴趣 。他开始着手进行数据分析统计工作 。
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