20世纪最重要的数学真理：哥德尔不完备定理 _小知识

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库尔特·弗雷德里希·哥德尔
哥德尔悖论说谎者悖论、卡罗尔悖论、芝诺悖论、希尔伯特悖论，所有这些悖论都与哥德尔的不完全性定理有关，并在历史上导致了这个定理的诞生。库尔特·哥德尔是一位逻辑学家，生于 1906 年，卒于 1978 年。他证明了一个关于数学极限性的定理（该成果发表在 1931 年的论文中），这在当时的数学家看来是相当令人震惊的。
这个定理基本上是说，任何一个逻辑上一致的体系都注定有既不能被证明为真，也不能被证明为假的命题，除非逻辑体系非常小且枯燥。一致性和逻辑性在这里都有正式的含义：逻辑性意味着它是以一种精确的方式从公理中建立起来的；一致性意味着体系不包含任何矛盾，所以如果某个事物是真的，那么体系也不可能是假的。

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当然， “小”和“枯燥”是非常不正式的词语，这听起来像是主观的描述。但是，举例来说，任何一个逻辑体系，只要它足够大、足够有趣到能够表达整数的运算，就注定具有这种不完全的特性。没有量词的一阶逻辑并不属于这个范畴。事实上，一阶逻辑可以被证明是完全的，因为其中的一切事物都可以被证明是真的或假的。而二阶逻辑不可以。
这有点像罗素悖论，它归结为自我参照的问题。只要允许表述引用其本身，就会产生奇怪的循环。有时，这些循环会产生美丽的结构，如计算机程序中的分形或者无穷循环。但是，逻辑循环会给我们带来问题。正如侯世达在他的著作《我是个怪圈》中提到的那样。侯世达在其早期著作《哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成》中广泛讨论了哥德尔的不完全性定理。在这部著作中，侯世达不仅阐明了不完全性定理，还阐明了在巴赫音乐以及艾舍尔版画中，逻辑结构与抽象结构之间存在的各种迷人的联系。两者的作品都具有深刻的数学性，同时也具有极大的艺术满足感。
不完全性定理的证明涉及构建一个命题，它通过自我参照创造了一个悖论。它的独创性和震撼性来自能够完全从形式上在数学体系中完成这一过程，本质上是使用数字。用正常的语言说出一个无法证实的句子是很容易的，比如“我很快乐” ，但那只是因为“快乐”并不是一个足够符合逻辑的概念，它是无法用逻辑来证实或者反驳的。

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在哥德尔定理之前，许多数学家都认为，不同于现实世界，数学世界是一个完美的逻辑世界，在这个世界里，所有事物都是可以被证实的。哥德尔对此泼了冷水。他只是形式化的编码了这个句子。
这个命题是无法被证实的。
首先，我们可以决定这个命题为真（如果它为假，就意味着它是可以被证实的，但这将说明命题为真，这会产生一个矛盾）。然而，这个命题为真这一事实又意味着它是不可证实的，因为这就是命题所说的内容。（如果你和我一样，那么在考虑这些的时候你可能会觉得头晕。）
哥德尔表明，用算术语言来完成这个命题是可能的，因此，这表明了任何包含算术的数学体系都一定是不完整的。肯定存在比这种数学体系更小的数学体系，它们是完整的，但是它们不包括算术，所以几乎很难被称为全部的数学。
哥德尔悖论是一个真实的悖论——尽管一些数学家对他的结论非常愤怒，并且拒绝相信它，但是它在逻辑上是没有任何错误的。即使是在数学的逻辑世界里，如果一个结论让人感觉是错误的，那么仍然会有数学家拒绝相信它，尽管他们在证明中找不到任何逻辑错误的地方，哥德尔悖论就是这一事实的例子。悖论警告我们应该限制自己对数学能做什么的期望。数学家们现在已经大体上从那次冲击中恢复过来了。