什么是数学？跨越抽象与现实的边界，探索美味生活的数学配方 _小知识

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什么是数学？巧克力布朗尼：
? 配料 115 克黄油 125 克黑巧克力 150 克糖粉 80 克土豆粉 2 个中等大小的鸡蛋方法
? 将黄油和巧克力融化，一起搅匀，然后冷却一会儿。
? 将加入糖的蛋液打发。
? 缓缓将巧克力倒入蛋液中。
? 倒入土豆粉。
? 将混合液体倒入单独的几个小号模具中，将烤箱温度调至 180°C 预热，然后放入模具，烤大约 10 分钟（或者根据你喜欢的熟度调节时间）。

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数学，就像食谱一样，包含配料和方法。同样，就像食谱如果不谈论方法会变得无用，如果我们不谈论数学的研究方法，而只讨论数学的研究对象，我们就无法理解数学究竟是什么。碰巧，在上述这个食谱里，方法很重要——我们没法儿直接用一个很大的托盘成功地烤出布朗尼，我们必须要用小号模具。在数学里，方法也许比配料更重要。真正的数学很可能并不是你在学校的数学课上学到的东西。不过，就我自己而言，我似乎一直都知道数学的内涵要比我们在学校学到的那些更丰富。那么，什么是数学呢？
食谱书-按照所需厨具来给食谱分类会怎样？做饭的流程通常类似于这样：决定你想做什么，买原材料，然后着手烹饪。有时，步骤的顺序会发生颠倒：你在商店或市场里闲逛，看到一些不错的食材，想要用它们来做饭。也许是某种格外新鲜的鱼，也许是一种你从未见过的蘑菇。你先把它们买回家，然后才开始查可以用它们做什么菜。
这与做学术研究的研究对象颇具异曲同工之处。通常，当你说起你所研究的课题时，你会根据你的研究对象是什么来描述它。也许你研究的是鸟类、植物、食物、烹饪、理发，或者是过去发生的事，又抑或是社会如何运转。一旦你决定了想要研究什么，你就需要学习研究它的方法，或是自创一些研究方法，就像在烹饪中学习打发蛋白或是给黄油脱水一样。

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然而，在数学领域，我们所研究的对象本身就取决于我们使用的研究方法。这就类似于我们买了一个搅拌机，然后决定用它做各种美食这种情况。与其他学科相比，数学的研究过程可以说是逆向的。通常而言，是我们的研究对象决定我们的研究方法；是我们先决定晚饭想吃什么，然后再选用合适的厨具。但是，当我们因新买的搅拌机而心情激动时，我们就会想试试用它来做我们所有的饭菜。（至少，我就见过这么做的人。）
这多少有点儿像“先有鸡还是先有蛋”的问题。但我的论点是，数学是由它的研究方法来定义的，而它的研究对象则是由那些研究方法决定的。
立体主义-当风格影响内容的选择时用研究方法给数学分类与艺术流派的分类十分相似。诸如立体主义、点彩画派、印象派这些流派都是依据作画方法，而不是依据作画内容来划分的。芭蕾和歌剧也是如此，其艺术形式是根据表达方式划分的，而主题内容通常是有固定范畴的。芭蕾很适合抒发情感，但并不那么适合描述对白，也不适合表达政治诉求。立体主义显然不适合描绘昆虫。交响乐适合表现大喜大悲，但并不适合传达如“请把盐递给我”这样的寻常信息。
在数学里，我们使用的方法是逻辑。我们只想使用纯粹的逻辑推理，而非使用实验、实证、盲信、希望、民主、暴力等种种途径。仅仅是逻辑。那么，我们研究的对象是什么呢？我们研究所有符合逻辑规则的事物。
数学是运用逻辑规则，对所有符合逻辑规则的事物进行的研究。
我承认这是一个过分简化的定义。但我希望，在读了本书更多内容以后，你会明白这个定义就它本身而言已经足够准确了，它正是一个范畴论数学家会给出的定义，而非像第一眼看上去那样是个循环论证。
谁是首相-用它是做什么的来描述事物设想有人问你“谁是首相”，而你回答说“他是政府首脑” 。这个答案没错，但并不能让人满意，因为它没有正面回答问题：你描述了首相的性质，但没告诉我们首相是做什么的。同样，我刚刚对于数学的“定义”也描述了数学的特点，但并没有告诉你它是做什么的。因此，这个定义可能不是很有帮助，或者至少不太全面——不过，这只是了解数学的开始。