19世纪几何学的革命，非欧几何如何塑造了哲学、科学、文化和艺术 _古代数学

在本文第一部分《著写最早几何学集大成之作，欧几里得曾是怎样影响世界的？》中，我们看到了数个世纪以来古希腊几何学思想是如何浸透在人类思想史之中：从科学、哲学到政治、艺术。然而， 19 世纪早期人类迎来了一场几何学革命，人们开始意识到空间并不必然如同古希腊欧几里得暗示的那样。本文中，我们将看到这种觉醒如何塑造了哲学、科学、文化和艺术。

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【19世纪几何学的革命，非欧几何如何塑造了哲学、科学、文化和艺术】欧几里得，椭圆和双曲线几何。仅对于欧几里得几何模型满足平行假设(图自维基)
欧几里德的世界在开始之前，让我们来做一个简单的实验：想象一个平面上有一条直线 L 和直线外一点 P ，穿过 P 点可作几条直线与 L 平行？

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有多少条线穿过 P 且与直线 L 平行？
如果你的回答是“显然只有一个” ，那么你的直觉肯定就是欧几里得式的。如果你说“很明显只有一条”那你的直觉是欧几里得式的。欧几里得对上述假设进行了证明（事实上这就是欧式几何的第五公设）。
欧几里得平面几何的五条公理（公设）是：

从一点向另一点可以引一条直线。
任意线段能无限延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
所有直角都相等。
若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

但是，如果考虑在一个非平面的曲面，你会画什么样的平行线呢？下图显示了马鞍面，又称为双曲抛物面(Hyperbolicparaboloid) 。

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图中这个形状表面上绘制的线是抛物面的“直线”：它们是点与点之间最短距离的路径。但请注意，红线和黄线都是蓝线的平行线，然而它们通过了同一点！而且，蓝色和黄色平行线并不是到处都等距，所以这不像你在平面上看平行线时所期望的那样。
事实证明，双曲抛物面形成了一个完美的几何空间。正是这种认识——空间不必像欧几里得和我们的直觉所暗示的那样，而是可以相反——让 19 世纪的思想家们发现了革命性的变化。卡尔·弗里德里希·高斯，正是这一事实的发现者之一，不过害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，没敢公开发表自己的研究成果。但是，正如数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）以及其他人所证明的那样，除了双曲抛物面以外，还有更多非欧几里得空间，包括正弯曲空间和三个或三个以上维度的空间。
接下来让我们谈谈这种认识对人类思想的影响。
空间哲学一旦你开始思考空间的本质，你就会开始质疑空间究竟是怎样的存在？它是一个事物？某个实体？或者它是真的吗？哲学家伊曼纽尔·康德（Immanuel Kant）说，空间的概念先验存在于思想之中：当我们进行几何构建时，重要的不是我们画在纸上的形状，而是我们在心理空间中看待它们的方式。我们在我们的心理空间中命令我们的感知，并且其属性对于所有人类都是相同的。康德的空间观是欧几里得式的。常人很难想象非欧几何空间的观念，或许这也就是非欧几何空间可能看起来不像欧式几何空间那样“真”的原因。
物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹说，但是我们可以感知到。例如，查看凸面镜中的反射。看一看凸面镜中的反射图像（你的车上或许就有这个玩意儿），镜中的图像是一个三维的非欧氏几何的空间。请注意示例图中原本平行的超市货架在镜中的样子（从镜子的顶部到底部），在镜中他们并不是处处等距的。在这样的空间中你能学着构建几何概念吗？你如果能用自己车上的凸面镜试着想象一下，那么就意味着你能理解非欧几何。