古希腊这个几何问题，看着平淡无奇，却让一代代数学家绞尽脑汁 _古代数学

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聊聊“化圆为方”那些事人们常用‘大海捞针’ ， ‘煎水作冰’ ， ‘化圆为方’等成语表示不可能完成的事情。这其中， ‘化圆为方’蕴含着丰富的数学知识与数学思想，你知道是什么吗？此外，为什么‘化圆为方’就意味着不可能呢？数学家们又是如何证明其不可能性的呢？下面让我们一起来探究这个有趣的问题。
来源“化圆为方”最早由古希腊学者阿那克萨哥拉提出，他生活在公元前 5 世纪，在数学和哲学领域都有所贡献。相传他因亵渎神灵被捕入狱，在狱中实在过于无聊，便提出了这么一个作死问题:"怎样作出一个正方形，才能使它的面积与某个已知圆的面积相等？" 这就是化圆为方问题。之所以说这个问题作死，是因为阿那克萨哥拉虽然提出了这个问题，却不能提供参考答案，并且在这之后的 2400 多年里，无数大神们在这个问题上折戟沉沙，铩羽而归。

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▲ 阿那克萨哥拉, 前 500 年 - 前 428 年(图自维基)
背景化圆为方是典型的尺规作图问题。所谓尺规作图(Compass-and-straightedge) ，就是只准许使用不带任何刻度的直尺和圆规绘制目标图形。这种苛刻的作图条件使得原本很简单的几何作图中产生了一批著名的数学难题，化圆作方便是其中杰出代表。除此之外，还有三等分角问题和立方倍积问题，它们并列为尺规作图三大难题。
未来还会有另外文章介绍余下两个问题。

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▲ 化圆为方：求一正方形，其面积和一已知圆的面积相同(图自维基)
在这里我们有必要先了解下尺规作图，在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：
直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，将两个端点同时移动，或者只固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。

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定义了直尺和圆规的特性后，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法(The basic constructions)：

通过两个已知点，可以作出一直线。
已知圆心和半径，可以作出一个圆。
若两已知直线相交，能够确定其交点。
若已知直线和一已知圆相交，能够确定其交点。
若两已知圆相交，能够确定其交点。

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▲ 作图公法的五种基本步骤
尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？” ，等等。
故有：化圆为方问题的完整叙述是： “给定一个圆，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出一个正方形，使得它的面积等于圆的面积” 。
如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度√π 倍的线段。
证明要想证明化圆为方的不可能性，即要证明：在尺规作图的条件下，无法作出长度为单位长度√π 倍的线段，这等价于从 1 开始作出 π 。那么，是否可以做出呢？
结合我们所知情况，答案显然是不能。
因为能够用尺规作出的数 z 都有对应的最小多项式，即存在有理系数的多项式 m ，使得 m(z)=0 。