古希腊这个几何问题，看着平淡无奇，却让一代代数学家绞尽脑汁( 二 ) _古代数学

但对于圆周率 π 来说，这样的多项式不存在（由 1882 年林德曼等人证明）。所以无法用尺规作出数 z=π ，故化圆为方的不可能性得证。
数学上将类似于这样没有对应的多项式的数称为超越数，有对应的多项式的数称为代数数。
上面关键之处在于林德曼等人的证明，他们用到了现在称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。
相关解法虽然数学家们已经相互独立的证明了超越数不可能由尺规作图构造出来，但这并不影响人类天才解决问题的步伐。下面是一些独特的解法，受过启发的你能不能提出更好的想法呢？
1. 利用密率，近似作图根据前面所讲，化圆为方不可能性的本质在于 π 是超越数，如果将其转换为可用尺规作图方式作出的规矩数 z ，就可以化不可能为可能，解决问题。
沿着这个思路，我们找到了“密率：355/113” ，这一关键数。它由中国伟大数学家祖冲之最先发现，是一个与圆周率 π 非常近似且分子分母都是正整数的分数（也就是规矩数，属于代数数），可作出 π 的近似长度。
密率，是圆周率比较精确的一个分数近似值。出自《隋书·律历志上》：“密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”
主要过程如下：首先，转换形式：

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然后，我们注意到最右边分数，由四则运算和平方构成，符合尺规作图要求，所以我们可将其用尺规作图方法作出来。尺规作图过程：

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现在来论证目标线段 AG的长度：由 △AEF ∽ △ADO 相似，得

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在 △AEF 中，有

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由 △AEG ∽ △ADF 相似，得

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这样我们可以在一条直线上画出 AG + 3AO 这么长的线段。如下图红线段所示：

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接下来我们要作出长度为 √π 的线段：如上图所示，

再在长度为的线段的右侧同一直线上接上一条长度为 1（也就是 AO）的线段
以这两条线段的长度为直线作半圆
过这两条线段的交界点作这两条线段的垂线（图中蓝色），与半圆相交
根据相交弦定理，交点到直径的距离就为 √π。

最后：我们就以这条垂线段为一边作正方形。这样，这个正方形的面积就极为近似地等于 π ，即等于半径为 1 的圆的面积。问题解决，利用密率，近似化圆为方！
2. 达芬奇解法上个解法是近似作图，毕竟 355/113 不真等于 π ，现在我们跳出尺规作图这个框架，会发现思路开阔许多。
用已知圆为底，圆半径的 1/2 为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，如图：
【古希腊这个几何问题，看着平淡无奇，却让一代代数学家绞尽脑汁】

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证明：

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最后，将所得矩形转化为等面积的正方形即可。
这样，化圆为方的问题得到了解决。这种方法由欧洲文艺复兴时期意大利数学家达芬奇提出，所以又称达芬奇解法。当然，这种解法虽然有新颖独特，极易理解等诸多优点，但问题也是存在的。首先是不精确，可操作性不强，所得结果误差较大。其次，违背了题设条件-尺规作图，用了直尺圆规以外的工具，这种开挂操作估计很难让人信服。不过这种从多方面多角度去看问题、分析问题和解决问题的思维方式还是很值得我们认真学习。