什么是数学？跨越抽象与现实的边界，探索美味生活的数学配方( 二 ) _小知识

我们可以说清楚数学是什么，而不是数学像什么吗？数学到底研究什么？它的确研究数字，但也研究其他东西，比如形状、图像和模式，以及肉眼看不到的——富有逻辑的想法。甚至还有更多：那些我们目前还不知道的东西。数学持续发展的原因之一就是，一旦你掌握了一种方法，你总能找到更多可以用它来研究的对象，然后你又能找到更多研究这些对象的方法，再然后你又能用新方法找到更多可以研究的对象，如此循环往复，就像鸡生蛋，蛋生鸡，鸡生蛋……
山脉-登上一座山能让你看到更高的山你是否有过这种体验——登上一座山的顶峰，发现的却是比它更高的所有其他山峰？数学也是如此，它越发展，可供研究的对象就越多。此事的发生一般伴随着两种过程。
第一种是“抽象化”：我们用逻辑梳理清楚了本来没有逻辑存在的领域。打个比方，可能你原本只用电饭煲煮米饭，而有一天，你发现你也可以用它来烤蛋糕，而且用电饭煲烤出来的蛋糕和用传统烤箱烤出来的蛋糕只有一点点不同。换句话说，我们借助一种新的视角来看待原本不是数学的事物，从而将其变为数学。这就是为什么 x 和 y 会出现在数学领域的原因——我们原先的目的是研究数字，但后来我们发现此种处理数字的方法也可以应用到其他领域。
第二种是“广义化”：我们明白了如何用我们已经理解的事物来建构更复杂的事物。这就好像你用搅拌机做了一个蛋糕，又用搅拌机做了酥皮，然后把两者堆叠起来，创造出一种新的甜点。在数学领域，这就等同于用比较简单的数字、三角形和日常生活中的事物来建构多项式、矩阵、四维空间等。
鸟类-鸟类不等于鸟类研究假设你是一个研究鸟类的专家。你研究鸟类的行为、饮食、求偶方式、育幼方式以及它们怎样消化食物，等等。然而，你永远不可能用更简单的鸟类来创造一种新的鸟类——鸟类不是这样创造出来的。在这件事上，你不能使用广义化，至少不能使用数学的广义化。
另一件你无法做到的事情是把不是鸟类的东西变成鸟类。鸟也不是这样创造出来的。所以你也没有办法使用抽象化。有时，我们也会发现自己犯了分类的错误，需要对此进行修正，比如把雷龙“变为”一种迷惑龙，但那只是因为我们意识到了雷龙是迷惑龙属的一种，而不是真的把前者变成了后者。我们不是魔术师，不能把一件东西变成另一件东西。但在数学里，我们可以这样做，因为数学研究的是关于事物的想法，而不是真实事物本身，因此，我们只需要改变自己头脑中的想法，就可以改变我们的研究对象。通常，这意味着改变我们对某种事物的看法，改变我们的视角，或是改变我们描述的方式。
一个数学上的例子是绳结，如下图所示。

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在 18 世纪和 19 世纪，范德蒙、高斯和其他一些数学家想出了如何用数学的方式来看待绳结，这样一来他们就可以用逻辑规则来研究它们了。
这个方式就是，想象把一根绳子的两端粘在一起，使其成为一个封闭的环。虽然这样一来，绳结没有胶水就做不成了，但这也让数学家能更方便地研究它。每一个绳结都可以用三维空间里的一个环来表示。在拓扑学里，研究这种问题的方法有很多，对此我们稍后会加以讨论。总之，这样一来，我们不但可以对真正存在的绳结进行种种推断，还可以研究那些在宏观世界中不成立，但在微观世界的分子结构中真实存在的“结” 。
关于将“真实”世界中的事物转化为“数学”世界中的事物，几何图形是另一个更为古老的例子。数学的发展可以说经历了以下几个阶段：

它起源于对数字的研究。
人们想出了一些方法来研究这些数字。
人们意识到，这些方法也可以用来研究其他事物。
人们四处寻找其他可以用这些方法来研究的事物。

其实还有一个步骤 0，位于数字诞生以前：有人发明了数字这个概念。数字可以说是数学中可以研究的最基本的东西，但数字并不是一开始就有的。也许，数字的发明就是最早的抽象化过程。
接下来我要讲的故事是关于抽象的数学的。我想说的是，它的力量和美丽并非体现在它所提供的答案和它所解决的问题上，而在于它对人的启蒙，它带来的照亮世界的一束光。正是这束光让人看得更加清楚，而由此，我们便迈出了认识周围世界的第一步。