欧氏几何是唯一宇宙空间表现形式？三位数学家和他们的几何新世界( 二 ) _数学家

我在这里要插上一句，很明显，高斯担心这种激进的新几何学会被康德学派的哲学家们当作哲学中的异端邪说。高斯称这些人为“毕欧申人”（Boetians），在古希腊语中，这个词是“愚蠢”的同义词。之后高斯继续写道：
“另一方面，我当时又想以后把它们都记录下来，这样一来，至少它们不会随着我一起消失。因此，对我而言这真是一个惊喜，这让我省却了记录这些想法的麻烦。我十分高兴是我的老朋友的儿子先于我之前把这些思想用文字表达了出来。”
虽然法卡斯觉得高斯对亚诺什的评价很高，他认为高斯的赞扬“令人欣喜” ，但是，亚诺什却因为自己的研究与高斯的思想完全相同而备受打击，并从此之后彻底地消沉了。在接下来的近十年时间里，他一直拒绝相信高斯在自己之前就已经开始研究这门几何的说法，而且，还因此严重影响了父子之间的感情——亚诺什怀疑父亲过早地把自己的研究结论透露给了高斯。后来，当亚诺什最终确认高斯的确在 1799 年左右就开始研究这一课题时，他变得更加愤世嫉俗，这种糟糕的心态也影响了他的学术研究。在亚诺什去世前，他留下了大约两万页的数学手稿，但相比而言，这些研究显得暗淡无光。
不过，毋庸置疑，高斯的确对非欧几何进行了大量思考。他在 1799 年 9 月的一篇日记中写道：“在几何的原理方面，我们取得了非凡的成就。”接着，他在 1813 年又提到：“关于平行线理论，我们如今并不比欧几里得知道得更多。这是数学中让人脸红的一部分，它迟早会变成另一种完全不同的形式。”几年之后，高斯在1817 年 4 月 28 日所写的一封信中又讲道：“我现在越来越确信，今天的（欧几里得）几何学的必然性并不能被证实。”最终，高斯得出的结论与康德的观念恰好相反：欧几里得几何不能被视为普适的永恒真理，并且“不能把欧几里得几何与算术相提并论（因为算术是先验性的），但大致可以与力学相提并论” 。费尔迪南德·施韦卡特（Ferdinand Schweikart ， 1780—1859）是一位法理学教授，他在 1818 年或 1819 年写信告诉高斯，他也独立得出了类似的结论。由于高斯和施韦卡特都没有公开发表过他们的观点和结论，所以在传统上，人们一直把发现非欧几何的荣誉归于罗巴切夫斯基和鲍约·亚诺什——其实，这两位绝不是非欧几何的独家“缔造者” 。
双曲几何犹如晴天霹雳一般打破了数学世界的沉寂，给欧几里得几何学唯一的不可动摇的空间描述带来了沉重打击。在高斯、罗巴切夫斯基和鲍约之前，欧几里得几何长期以来一直被视为世界的本质。然而，人类还可以选择一套不同的公理来构建一门完全不同的几何，这一事实让人们第一次开始怀疑，数学似乎是人类的发明，而不是独立存在于人思维之外、等待人类去发现的真理。同时，欧几里得几何学与真实物理空间之间的直接关系也破裂了， “数学是宇宙的语言”这一思想暴露出了致命的缺陷。

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当高斯的一名学生波恩哈德·黎曼证明双曲几何并不是非欧几何的唯一形式时，欧几里得几何学的优越地位变得更加岌岌可危了。黎曼于 1854 年 6 月 10 日在德国哥廷根做了一场演讲，演讲中处处闪耀着天才的思想火花。图 6 - 7 展示的是这篇后来公开发表的演讲稿的第一页。黎曼借助“以几何基础为前提的猜想”表达了自己的观点。黎曼一开始就说：“几何学预先假设了空间的概念，并假定了构建空间的基本原理。但是，几何对此仅给出了名称上的定义，而这些概念和原理的本质说明是以公理的形式出现的。” 但他接着又指出：“那些预先假设之间的关系还不为人所知。我们看不出它们之间的任何联系是否是必然的，或者在多大程度上是必然的，甚至不能预先确定，它们之间是否可能存在联系。”在各种可能的几何学理论中，黎曼重点研究了椭圆面几何。这是一门建立在椭圆体表面上的几何理论（图 6 - 4c）。请注意，在这门几何学中，两点之间的最短距离并不是一条线段，而是大圆上的一段弧，而这个圆的圆心恰好也是球心。航空公司就是利用这一特性来确定飞行航线的，所以，从美国到欧洲的国际航班的飞行线路并不是我们在地图上看到的直线，而是一段向北的大圆弧。你可以很轻易地证明，任意这样的两段大圆弧都会在直径的两端相交。例如，地球上的任意两条经线，在赤道附近看上去是平行的，实际上却会在两极相交。在欧几里得几何学中，经过直线外的一点只能作一条与该直线平行的平行线。而非欧几何则不同。在双曲几何中，经过直线外的一点至少能作两条与该直线平行的平行线。而在椭圆面几何中，连一条这样的平行线也没有。黎曼把非欧几何的概念推向了更为广泛的天地——他把这类几何引入三维、四维，甚至维度更高的空间曲面中。在这个过程中，黎曼拓展出了一个关键概念——曲率。曲率标识了曲线或曲面的弯曲比率。例如，在一个鸡蛋壳的表面上，蛋壳中段部分的曲线要比经过蛋壳两端尖头的曲线平缓，也就是说曲率要小。黎曼提出了任意多维空间中的曲率的精确数学定义。通过这一定义，黎曼让最早由笛卡儿提出的“几何与代数的结合”变得更加紧密。在黎曼的研究中，包含任意多个变量的方程式都能在几何学中找到自己的对应，而高级几何中的新概念也成了方程式的一部分。