金字塔、日晷与三角学 _小知识

在数学领域中，可能没有其他分支学科能像三角学一样始终占据着中心位置。—— 赫伯特
角和圆? 角代表了什么？
在纸上随便画出个角，很容易就发现角是由两条射线确定的，或者说是由一条射线转动形成的。转动的幅度就是角度。

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?你有没有想起一个几何图形？
圆是怎么定义的呢？线段转 1 圈，轨迹就是圆。

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角和圆关系很大，都是转动形成的，只不过形成圆的线长度是固定的；形成角，只要是线就可以。
? 圆和角有什么关系呢？
圆是角的特殊情况，但增加了三个限制条件：

转动主体是线段，而不是射线。也就是说转动的主体长度是有限的，是收敛的。
在转动的过程中，线段的长度是不变的。
转动幅度有限制，当转回原点时停止，也就是转了一圈。

? 第 1 个限制产生了什么作用？
这会让转动的过程形成曲线轨迹。
这个限制产生了一种“收敛”的作用，角和圆弧的关系，就好像射线和线段的关系一样，“弧”是在角上增加均匀的距离限制产生的。
所以，很容易就会想到“弧”和“角”是对应的，“弧”只不过是把“角”这个发散的形状收敛了。
? 第 2 个限制产生了什么作用？
这会让转动的过程形成优美简洁的“圆弧”曲线。圆给人一种简洁优美的感觉，因为它是均匀的，上面的每一个点到中心的距离都是一致的。如果没有这个限制，那么运动轨迹可能是一团乱麻。
? 第 3 个限制产生了什么作用？
刚好转了一圈，如果从静止角度来看，平面上最大的角就是圆所对应的角，任何其他的角都可以表示在圆中。
自然而然的就要把“周角” 平均分割来作为“角度”的单位；又因为圆是均匀变化的简洁优美的图案，所以研究角的时候经常要放到圆形中去研究。
所以说，“圆”是一个研究“角”的平台，早期的三角学是建立在“单位圆”基础上的。习惯上把“圆”这种特殊的角叫做“周角” 。
?怎么样度量角的？
最常见的单位就是“度”，在右上角有一个小圆圈 ° 。把一个周角等分 360 等份，其中的每一份就叫做 1。
其实仔细想一下就觉得很奇怪，因为其他公制单位都不是 360 进制的，唯独角度是 360 进制。这到底是怎么回事呢？具体的缘由已不可考，但可以知道的是这种表示方法是古巴比伦人最先使用的，他们的计量进制正好是 60 进制，也许与此有关吧。[3]
? 弧度是怎么出现的？有什么好处呢？
在数学和物理中，我们最常用的其实是弧度而不是角度；国际单位制中就是用的弧度(rad) 。
之所以用弧度，是因为“弧线”它是个两面派，从度量角度来说，它是“线”，可以用公制度量“长度”来描述，但是从性质上来说属于转动，因为弧是角限制距离形成的，几乎就是一回事。
所以就直接用单位圆(r=1)的弧长来描述角度，这和国际单位兼容得很好，在弧度制下，公式变得非常简洁，所以弧度制这才是数学和科学中最主流的。
比如，用弧度描述半径为 r 的圆的周长 s 就是：s=rθ，因为弧度 θ 就是单位圆的弧长，我们要描述的是半径为 r 的圆，自然就是 r ×θ ；如果用角度来描述就麻烦多了，s= πrθ/180。
? 为什么会这么麻烦呢？
单位圆的周长是 2π，所以 2π=360°，1 弧度就是 180°/π，故

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弧就是圆的一部分，所以在描述最基础的图形之一——圆的时候，就非常简洁；而用角度就占不到任何优势了。
弦不过就算是弧度制，想知道角的具体度数也是非常难的。如果角度很小，就画在一张纸上，那可以简单的用尺子量一下。

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【金字塔、日晷与三角学】但如果要建造一个建筑物，怎么样才能保证墙壁的倾斜角度是一致的呢？

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尺度稍微放大一点，之前测量角度的方法就不灵了，所以我们急需一个更简单的角度测量和比较。