拨动天空琴弦的三角学 _小知识

阅读该文章时要结合注释来看。为了叙述的完整感，很多拓展内容在注释上。
半弦表天文学的发展对精确的制图提出了要求，人类对角的认识也从定性开始走向定量。
研究角度和长度之间的关系，其实就是在研究函数，所以用的办法也和之前谈过的乘法、对数是一样的：直接编一个表。
最早的时候托勒密用的就是弦长，不过后来这个表被印度数学家改良了，从“弦长表”改良成了“半弦表”，因为如果要用这个表解任意三角形的话，“半弦”明显比“弦”好用很多，就是在这张表中角的“半弦”也被叫做“正弦”，其余角的“半弦”就叫做“余弦” 。[1]

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后来，印度人的半弦表经阿拉伯人之手又传回了欧洲[2]，被翻译为希腊文 "sinus(sin)"，意为“海湾”，所以在东方人的意识中正弦是“弓弦”，而在西方人的意识中则是“海湾”， "co" 在拉丁语里有“联合”的意思，所以 "co-sinus(cos)" 就是“余弦” 。

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▲ 虹湾(Sinus Iridum)是月球上西北侧的一处撞击坑
日晷和测量金字塔的高度，都是利用了直角三角形的直角边，最初直角边之间的关系就是用拉丁文“阴影”命名的，随着数学的继续发展，概念也从具象走向抽象，15世纪之后开始用 tangere(tan) 来描述了，这个词在拉丁文中是“接触”的意思，而中国人把 "tan" 翻译为“正切” 。这是显然是从线与圆的关系上来看的，"tan" 所在的直线和圆正好相切。

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从具象到抽象奥地利雷蒂库斯(G. J. Rheticus,1514—1574)，一改过去用弧与弦来讨论，使用直角三角形斜边与对边的比来定义角函数[6]，编制了每隔 10" 的角函数表。计算机普及之前，角函数表一直都是数学家手中必不可少的重要工具。

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▲ 国内曾出版的精度为8位三角函数值表
不过这种定义方法有缺陷：定义在直角三角形上，钝角的情况就不存在了，另外从这个角度上理解，我们似乎很难对它的含义作进一步的探究。[3]
随着解析几何的发展，人们发现如果在单位圆上定义，那么角函数可以用圆和三角形的线段，或者坐标之比来表示。[5]

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钝角三角形的问题也就迎刃而解了，因为可以把高作在负轴上；这种定义方法也使角从静态走向动态，负角就出现了，从坐标系上来看顺时针转动是角度减少，反之，逆时针则是角度增加。[4]

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把这样得到的 x 和 y 记录下来，可以画出图像；从动态旋转的角度来看，角度是可以突破 360°的，无需限制函数的定义域，所以优角就出现了。由于角度本身是有周期的，所以函数图像也是有周期的。

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这么一放，就会观察到 sin 和 cos 其实就是“二维世界的点，在一维世界上的投影” 。这就很容易理解 sin 和 cos 的图像形状是“尖尖”的，因为他们相当于“把圆看扁了”；生活经验也会告诉我们，从投影的角度看圆周运动就是忽快忽慢的。

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从几何意义上可看出：
● sin 和 cos 的值域是 [-1,1]，而 tan 的是整个实数集。因为 tan 是斜率，所以垂直时不存在，定义域为

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● 另外，能够一眼就看出函数值的符号：因为 sin 其实就是 y，所以在角坐标上半边时结果是正的；cos 就是 x，所以在右半边是正的；tan是 sinα/cosα，所以“同增异减”，在第一和第三象限是正的。

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角函数的应用角函数还可以看做“解旋”[7]的过程：把旋转拆分为平移。