三角学中，这么一堆公式其实就说了2个事而已 _小知识

在学三角这部分的时候，有些书习惯列出诱导公式(induction formula)，都列出来的话可以写小半张纸。
那什么是“诱导公式”呢？“诱导公式”应该是一个老的翻译，“诱导”也就是我们今天所说的“推导”，除了公理之外，那有什么公式不是推导出来的呢？所以说起这种名字就意味着根本就没有名字，因为实在太显而易见了，所以没有人好意思大叫“尤里卡”，没有人好意思冠名。
但是没有名字，交流起来又不方便，所以就干脆这么叫了，这种叫法类似于“孩他娘” 。

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“显而易见”在哪里？一堆式子本质上只说了两件事情：
① ×(-1) 几何意义是转 π，× i 是转了 π/2 。
② f(-x) 的几何意义是 x 轴对称。
上面是两个老调重弹，然后，再结合两个显而易见的已知事实：
③ ±2π 的几何意义是不变。
④ co 的含义是余角。
这就是所有的“诱导公式” 。
你可以看出，这说的都是些最基础的东西，角函数就是这样的地位：它是二维在一维的投影；旋转和平移的桥梁；可以看做比值，它却有简洁的几何定义。
如此简单的事实是怎么变成那么多公式的？首先，诱导公式并不是用几何形式写的，而用函数语言写的，所以你需要换一种表示方法，或者说换一种观察角度。而我们对这种角度是陌生的，所以就容易产生混乱的感觉，只要习惯了是一样的。
其次，之所以诱导公式能写很长一串，就是因为把 tan/sec/cot/csc 都印上去了，其实这些都可以通过 sin/cos 的变化一眼就看出来，印上去是为了实际的查阅方便，不是为了记忆。不解释一下会“吓人一跳”，懂了之后就很简单，看似很多，其实就那么回事。
?怎么样从几何视角转换为函数视角呢？

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其实就是复数的乘法

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【三角学中，这么一堆公式其实就说了2个事而已】

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sin 与 cos 可以看作投影，“平面上关于 x 轴对称的点”，在 y 轴的投影自然是一致的，
y 轴的投影刚好符号相反。

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任何角转一圈，从静止的角度来看都是不变的。

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co 的意思是余角，余弦就是余角的正弦。
实际该怎么使用呢？之所以罗列出诱导公式，最重要的目的就是忘记的时候，对照查阅的，如果你手边没有对照表，其实只要动动脑筋就可以想明白：
● 这些变化都是以 π/2 为单位的，所以说只要看到 π/2 的倍数，就知道可以应用诱导公式。
● 如果是 -π/2 奇数倍就是在原来角和余角之间切换，如果是 +π/2 奇数倍就是 × i ；如果是 π 的奇数倍，就是 ×(-1) ；如果发现是上述情况，但是符号不对，那就通过取对称变换符号。
真正重要的公式是“积化和差”，从名字就会看出这个东西有降次作用，在对数表发明之前，天学家们就已经用这个公式来简化计算了，纳皮尔发明对数表，也可能受到了它的启发。

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参考资料: 维基百科