大自然的几何——分形中的数列与迭代


大自然的几何——分形中的数列与迭代

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今天的主题是几何,大自然的几何,一说到几何,大家肯定不陌生,三角形,正方形,圆等,但是自然界中的形状都是三角形,正方形和圆吗,并不是,经典几何学所描绘的都是由直线或曲线,平面或曲面所构成的各种几何形状,他们是显示世界中物体形状的高度抽象 。伽利略说:大自然的语言是数学,它的标志是三角形、圆和其他图形 。但是对于了解大自然的复杂性来讲,欧几里得几何学是一种不充分、不具有普遍性的抽象 。
在 Mandelbrot 1975年出版的《大自然的分形几何学》一书中,有这么几句话:“云不只是球体,山不只是圆锥,海岸线不是圆形,树皮不是那么光滑,闪电传播的路径更不是直线 。它们是什么呢?它们都是简单而又复杂的‘分形’……”分形的提出是为了更好的去描述、解释真实的大自然 。也正因为此,Mandelbrot被称为“分形之父” 。
最著名的分形问题是海岸线到底有多长,Mandelbrot给出的答案是:海岸线的长度是不确定的!海岸线的长度取决于测量时的尺度,就好比同样是一段路,大象和蚂蚁测量的步数绝对差很多,这是因为大象忽略了细节,而蚂蚁的路程远大于大象,这好像又给龟兔赛跑一个更合理的理论依据 。

大自然的几何——分形中的数列与迭代

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如果你仔细看一下这几幅图,你会很快总结出来分形的特征,那就是具有自相似性;具有无穷多的层次;和通常可以由一个简单的,递归、迭代的方法产生出来 。
简单的、递归、迭代,只要你稍微熟悉些高中数学好像对这些定义就不陌生,没错!数列!如果说上面是图形的迭代让人很有距离感,那么数字的迭代就会很亲切 。
第一次介绍分形是在高一讲授数列极限的时候,我是以这样一个问题引入:是否存在这样一个图形,具有有限的面积却拥有无限的周长?当学生找不到答案的时候,此时我会带着学生从一个正三角形(边长为 l )开始,根据下列规则进行构造:
步骤 1: 将其每边三等分;
步骤 2: 以中间的 l/3 段为边向外作正三角形;
步骤 3: 将第二步中的 l/3 边长去掉,得到一个新的多边形 。
然后把这个过程无限继续下去.

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接下来,计算一下无限次后的图形周长和面积 。
第1次分形后周长

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第2次分形后周长

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第3次分形后周长

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……
第 n 次分形后周长

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同理可得,第 n 次分形后面积

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当n趋向无穷次周长与面积:

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所以我们得到了无限次后的图形周长是无穷大的,但是面积确是有限的 。像这样的图形还有很多,我们把这类图形叫做Koch曲线 。同时可以得到数列极限的收敛与发散的条件 。

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上面边两张图分别是公比 r>1, r<-1 。

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上面两图公比为 0<r<1, -1<r<0 。
因此,我们总结出对于等比数列,当 |r|<1,数列收敛,lim a_n=Constant;当 |r|>1,数列发散,lim a_n=∞ 。
为了更好的理解这种迭代过程,下面会通过数据和图形给大家一个直观的感受 。
分别选择几种常见的函数,作为迭代公式,在给定一个初始值的情况下,我们看一下迭代 10 次后的一个效果 。

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