让模型思想在学生的思维中扎根 ——基于小学数学的思考( 二 ) _小知识

这种模型讲述的是总量与部分量之间的关系，其中部分量之间的地位是平等的，是并列的关系。因此在这种模型中，部分量之间的运算要用加法。如果单纯从数学计算的角度考虑，还可以称这个模型为加法模型。这种模型具体表示为：总量=部分量+部分量，或者用直观图来表示，两个整数 a 和 b 相加时，把相应的方框两端连线并去掉中间的相隔线，加法的意义就通过这个直观图表示出来了。比如：

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显然，模型中的部分量不局限于两个。可以用这个模型来解决现实生活中一类涉及总量的问题，这样的问题在小学低年级的数学教学中是屡见不鲜的。比如，计算图书室中各类图书的总和是多少，计算在商店中买几种商品的总花费是多少，计算在年级中各个班同学数的总人数是多少……还可以针对现实生活中具体问题背景的不同，引导学生灵活地使用这种模型，比如，可以在“部分量”那里讲一些故事，也可以在总量那里讲一些故事，把加法运算变为减法运算：部分量=总量-部分量。
▌（二）乘法模型
a 和 b 相乘，把两个方框中的点排成 a 行、b 列个点。构成一个新方框：

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乘法模型中包括多种情况，如路程模型。这种模型讲述的是距离、速度、时间之间的关系，如果假设速度是均匀的（或者平均速度），可以得到模型的形式：距离=速度 × 时间。再比如，解决“总价=单价 × 数量”的问题，解决总数=行数 × 列数”的问题等。显然，在具体使用这类模型的时候，可以用时间讲一些故事，比如，甲比乙晚出发多长时间；还可以用速度讲一些故事，比如，某人在行程途中改变速度等。也可以用距离讲一些故事，把乘法变为除法：时间=距离 ÷ 速度。
▌（三）植树模型
这类模型的问题背景是：在直线上或者平面上有规律地挖一些洞（也可以假设有一些洞），在洞中植树。在一般情况下，植树的数量小于洞的数量，这样就可以提出两类问题：一类问题是按一定规律在一部分洞中植树，问可以植树多少棵；一类问题是先确定植树的棵数，然后探索植树的规律。可以想象，在现实生活中这类问题是层出不穷的，也是非常有趣、非常有意义的。比如，要在一条道路沿线设立若干个加油站，就可以把道路的里程看成洞，把加油站看成树；再比如，在一个区域要设立若干个商业点，就可以把居民住宅区看成洞，把商业点看成树。特别是在现代社会这个模型被广泛应用于资源调查或者环境调查，因为可以设想调查点就是树，为了更加经济科学地进行调查，就需要合理地设计可以被用来植树的洞。
显然，在平面上设计这类问题要比在直线上困难得多，因此在小学阶段的数学教学中，问题的背景应当主要是针对直线而不是平面。
▌（四）工程模型
这类模型的问题背景是：有一个工程，甲工程队和乙工程队单独完成分别需要 A 天和 B 天，考虑两个工程队合作完成这个工程所需要的时间。解决这样的问题，一个简便的方法是假设工程为 1，因为有了这个假设就可以确定甲工程队和乙工程队一天分别能完成工程的：1/A 和 1/B 。正因为如此，人们又称这样的问题为归一问题。当然，在具体使用这个模型的时候，可以假设两个工程队合作会提高效率或者降低效率；也可以假设甲工程队先工作几天之后，乙工程队再参加；还可以假设有三个或者更多的工程队来完成这个工程。这种模型还可以包括传统的注水问题：有几个水管向一个池子中注水，还可以考虑一边注水一边放水的情况等。
▌（五）其他模型
1.比例关系模型
如果给出两个量数据变化的表格，学生通过观察和计算有可能发现这两个量的关系：两个变量成反比例关系还是成正比例关系。这是建立比例关系模型。
2.体积关系模型
利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有的小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系，进而归纳出长方体的体积公式，建立模型，这就是建立提及关系模型的过程。有了这些模型，就可以建立方程等去阐述现实世界中的“故事”，就可以帮助我们去解决问题。可以看到，使用模型的过程可以充分发挥人的想象力。这个想象力主要表现在构建现实背景，想象背景中事物中的各种数量，想象各种数量关系之间的各种可能组合。因此，在这样的教学过程中，不仅要培养学生分析问题和解决问题的能力，还要培养学生发现问题和提出问题的能力。