一本让你尽享数字大餐的小书 _数字

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万物皆数。—— 毕达哥拉斯
自然数是神奇的，越是发现自然数的更多特性，就越是认可克罗内克的名言：上帝创造了自然数，其余一切都是人为。其实古希腊人已发明了数论，数论比算术更进一步，它不限于计算结果，而是探究自然数的性质，只不过那时没有上帝这个概念。
尤其是那些小的自然数，自然是人们最感兴趣的。最近翻译出版的《数字乾坤》写了与 1—9 有关的故事，这是一种新颖的写法，其新颖之处还在于，它不局限于算术和数论，还包含几何、拓扑、图论、数值分析、混沌、游戏。《数字乾坤》这个非常恰当的书名，想必花费了译者和编辑不少脑筋吧。
《数字乾坤》是一本小清新，也是非比寻常的“菜单”，在做了简短介绍之后，“大餐”上来了： 1 号桌 13 道菜，2 号桌 28 道，3 号桌 22 道，4 号桌 13 道，5 号桌 13 道，6 号桌 11 道，7 号桌 11 道，8 号桌 7 道，9 号桌 10 道。整整 128 道菜，且全都不同！

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该书为我们展现的一个个奇异的数学世界，有些东西数学专业的我略知一二，但重温一下依然觉得不可思议，而且作者在这些内容的基础上做了一定的展开，掺进很多新的内容；还有的“大菜”则是全新的。平均下来每个知识点大约是一页半，这非常符合现在人们快速阅读的习惯。完全可以在紧张或无聊之余，抽空了解一个故事，以获得内心的愉悦。不像某些大部头著作，表面上看似乎很丰富，其实啰唆得很，数学方面的书一般都避开这坏毛病。专著还包含一些结果的论证，但没有多余的话，科普书更是浓缩的精华。这又与上馆子差不多：我们不必研究这些菜是怎么烧出来的，只要口感鲜美；只不过欣赏数学的美对一个人的学问修养要求高一点。
正整数有唯一分解定理，但你知道看上去眼花缭乱的纽结也可以唯一分解为素纽结吗？你知道 9 世纪阿拉伯数学家用有趣的图形覆盖法证明勾股定理吗？由勾股定理出发，还可以得到极为艰深的滕内尔定理及 BSD 猜想。一锅汤表面上漂浮着很多挤在一起的大小不一的小圆，这些小圆的半径满足一个很奇妙的等式，你知道是什么吗？答案都可以在书中找到。
在数字 3、4 上，作者的选择似乎更富意味。除了 1 和 2，大自然是非常青睐 3 和 4 的。3 意味着复杂。“道生一，一生二，二生三，三生万物。”看来老子对复杂性是有所领悟的。3x+1 问题数学家非常感兴趣，然而至今进展极小；另一个让人“崩溃”的是埃及分数问题：对于怎样的既约正分数可以表为 3 个不同的埃及分数（一个正整数的倒数称为埃及分数）？甚至连分子为 4 的情形，数学家也束手无策。这两个猜想分别提出于 1952 年和 1948 年，属于“老大难”问题了。还有一个历史更悠久的是确定所有可以表为 3 个立方数之和与 4 个立方数之和的正整数。这个问题也是极易理解、难得出奇。数论之外的情况也差不多。首先不能遗漏的是著名的三体问题，这是混沌理论的“鼻祖”，还有混沌理论中“周期 3 则意味着乱七八糟” 。其中有很多问题值得研究。还有著名的石头、剪刀、布和博罗梅安环（任何两个环都是分离的，三个环却扣在一起）、庞加莱猜想、阿罗选举不可能定理。4 也是这个世界非常喜欢的数字。比如著名的四色定理，反映了平面和球面的本质。而杜奇序列又是初等数学的一个好课题，不需要超出中学的知识，但很巧妙，不太容易做。
其他内容还有米盖尔五圆定理、5 种正多面体（4 维空间有 6 种，5 维及以上都是 3 种）、佩特森图、最优堆积、六度分离、7 种平面基本装饰、七桥问题，还有一个特奇怪的积分实验。四元数和八元数、匹萨定理、生命游戏、E8 群、九树十行问题……这些都很有趣，此处不一一列举。

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这本书贴近大自然，使我们充分看到：大自然的种种模式就是数学的形式。本书还告诉我们，某些有趣的结果有着意想不到的应用。比如由名著《通俗天文学》作者纽康首先发现的本福特定律，可以帮助我们判定作假帐。搞数学的人不陌生的图埃-莫尔斯序列，其实跟如何从一群人中选出实力抗衡的两支队有关。1864 年发明的波塞利亚-利普金连杆，正是利用圆的反演变换，将圆弧运动转化为直线运动，在蒸汽机的发展中起到了重要作用。而在图像处理中的逆问题，即如何从某条与图片相交的直线的平均灰度来求出各点的灰度？这就是 1917 年提出的拉东变换，约 50 年后，由于医学成像技术的发展，拉东变换突然变得很重要：通过测量而重构出各点组织的密度，可以帮助人们发现肿瘤。拉东变换是 CT 和核磁共振的理论基础，这方面的成就获得了好几次诺贝尔奖。本书还提到了 15 世纪朱载堉的 12 平均律，这是中国人对音乐和数学的杰出贡献。