素数并不孤独 _小知识

小编来今天给同学们带来的趣味数学故事是：素数并不孤独。
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故事适合年级：小学【素数并不孤独】趣味小故事：数论，是研究数字的一门数学分支。如同大海，它清澈透明而又深不见底。它的基础概念，自然数、加法、乘法，每个小学生都清楚;但关于自然数的定理，却可以让人穷尽一生而不得其解。而这篇文章要介绍的，只是这个广阔海洋中一个小小的海域。即便如此，我们仍未知道此处海深几何，尽管最近张益唐的突破性工作，使我们比以往更接近真理，但这远远不够。
尽管笔者才疏学浅，有恐贻笑方家。但如能为读者勾勒出一点点数学之美，也不枉费一番心思。
素数何时成双对
可以说，素数是数论中最基础而最重要的概念。如果一个大于二的正整数，除了1和它本身之外，不是任何数的倍数，那么它就是一个素数。比如说，6不是一个素数，除了1和它本身以外，它还是2和3的倍数;而5则是一个素数。
在古希腊，人们已经有了素数的概念，对素数的研究也略有所得。在欧几里德的《原本》中，第七、八、九篇讲述的是“关于整数及其比值的性质”，实际上也就是数论。在这几卷中，欧几里德指出了今天所说的“算术基本定理”：将自然数分解成素数乘积的方法是唯一的。也就是说，如果用乘法的眼光来看自然数，那么素数就是自然数的最小组成单元。它们不能被分解成更小的数的乘积，而所有自然数都可以分解成它们的乘积。
那么，我们自然要问：素数作为自然数的组成单元，它们有多少个?
有无限个，欧几里德不仅回答了这个问题，还给出了一个经典的证明。
不妨反设只有有限个素数，考虑它们的积N ，它是一个有限的自然数。所以，N+1 也是一个自然数，它也应该是一些素数的积。但根据假设，每一个素数都不整除N+1 ，这不可能!所以，素数必定有无限个。
这个精巧的证明，是人类探寻素数奥秘的第一步。
2、3、5、7、11、13……最初的几个素数，要找出来并不困难，但随着数字增大，如果一个一个数字按照定义去筛选是否素数，工作量会很快变得十分庞大。同为古希腊数学家的埃拉托色尼，给出了一个比较省力的算法，后人称之为埃拉托色尼筛法。
首先，列出从2开始的数。然后，将2记在素数列表上，再划去所有2的倍数。根据定义，剩下的最小的数——在这里是3——必定是素数。将这个数记在素数列表上，再划去所有它的倍数，这样又会剩下一些数，取其中最小的，如此反复操作。最后剩下的都是素数。
当古希腊人用这种方法计算出长长的素数列表时，他们也许也曾惊异于素数分布的秩序缺失。这些自然数的组成单元，在自然数中的排列却毫无规律，时而靠近，时而疏远。用类似欧几里德证明中的构造，我们知道，两个相邻素数之间的距离可以要多大有多大。而随着数目越来越大，相邻素数之间的距离似乎也越拉越长。
在无限延伸的自然数集中，向无穷的地平线望去，虽然仍有无穷的素数，但它们似乎也愈变孤独。
【素数并不孤独】 这种孤独甚至是可以度量的。在十八世纪的尾巴，年仅15岁的高斯独立提出了一个猜想：在n附近素数的密度大约是n的对数。也就是说，相邻素数之间的平均距离大概与它们的对数成正比，虽然增长很慢，但却义无反顾奔向无穷。但即使是高斯，也无法严格地证明他的猜想，要等两个世纪后的阿达玛(J. Hadamard)和德拉瓦莱普森(C. J. de la Vallée-Poussin)，才能将这个猜想变成现在的“素数定理” 。
虽然如此，偶尔也会有成对出现的素数，它们之间只相差2 。像这样成对出现的素数，在那些孤独的同伴看来，无疑是异类。
它们被称为孪生素数。
漫天星河难理清
一个自然的问题是，孪生素数有多少?
孪生素数猜想断言，有无限对这样的孪生素数。但还没有人能严格地证明这一点。在1849年，数学家A. de Polignac甚至猜想，对于任意的偶数2k ，都有无数对相邻的素数，它们的差恰好是2k。
这不是一个容易的问题。素数是乘法的产物，而孪生素数的定义则涉及到加法。即使只是加上2，也需要同时用到自然数的加法和乘法的性质。而在数论中的很多看似简单但无比困难的问题，比如哥德巴赫猜想和华林问题，核心也在于加法和乘法的交织。这种相互作用给数论学者们带来了无穷的头痛，以及对咖啡的无尽渴求。