素数并不孤独( 三 ) _小知识

关于布伦常数，还有个有趣的小插曲。1994年，美国一位教授在计算布伦常数时，无意中发现当时英特尔公司的奔腾处理器在计算浮点除法时，在极稀有的情况下，会产生错误的结果。虽然英特尔声明这种错误对于日常使用来说不足为患，但对于消费者来说，这种托辞实在难以接受。最后，英特尔不得不承诺免费更换有问题的处理器。帮助发现硬件问题，这可算是数论在现实中的一个小小应用。
但布伦的证明意义远不止于此。他的这个证明，正是现代筛法的开端。
布伦所用的筛法，根源可以追溯到古希腊的埃拉托色尼筛法。还记得我们怎么用埃拉托色尼筛法列出素数表吗?每次获得一个新的素数，我们都要划去所有新素数的倍数，然后剩下最小的数又是一个新的素数。用类似的方法，我们可以估计在某个区间中，比如说在N 和2N 之间，大约有多少素数。
首先，我们假设手头上已有足够大的素数表(大概到2N ? ? ? √ 的所有素数) 。用这个素数表，我们打算把从N 到2N 的所有合数都划去一遍，剩下的就是素数。对于每个素数p ，我们将所有p 的倍数划去一遍。在N 和2N 之间，对于每个素数p ，大约有N/p 个这样的倍数。当然，如果N 不是p 的倍数，这样的估计会有误差，但在数学家看来，只要能把握误差的大小，最终仍然可以得到正确的结论。
这样，剩下的数的个数就是N 减去所有N/p 的和，是这样吗?并不尽然，因为有些数可能被划去了几次。比如说1000，它能被2整除，也能被5整除，于是在处理2和5的倍数时，它分别被划去了两遍。对于每一对素数p 1 ,p 2 ，每个p 1 p 2 的倍数在之前都被划去了两遍，而我们只希望将它们划去一遍。为了得到正确结果，我们需要对这些数作出补偿：将这些数加回去，一共是N/p 1 p 2 个，加上一点点误差。
但这就是尽头吗?如果考虑三个素数的倍数，我们发现补偿得又太多了，需要重新划去;继续考虑四个素数的倍数，划去得又太多了，需要重新补偿……如此一正一反，损有余，补不足，一项一项估计下去，才能从自然数的海洋中，精确筛选出所有我们想要计算的那些素数。
但我们是否需要做到如此精细呢?在整个计算中，虽然每一项看似简单，但简单的代价是误差。虽然每一项的误差很小，但因为数目巨大，累土而成九层之台，累计误差可以比需要估计的量还要多。所以，在现代的筛法中，过于精细反而是一种累赘。况且，我们的目的是获得上界或者下界，所以结果无需完美，只需误差可控。一般而言，由于越到后面的项贡献越小，往往忽略它们的计算，直接将其计入误差。这样可以有效减少需要计算的项的数目，同时也能间接减少误差。当然，如果忽略的项太多，它们引起的误差又会太大，也会导致不够精确的结果。
布伦相对于前人的改进，正在于此。如果盲目计算所有的项，必然深陷误差的泥沼。而布伦则大胆截去那些贡献很小却占绝大多数的项，而对于剩下的项也果断采用更粗放的近似来简化计算。虽然看似不依章法，但通过仔细调校，布伦得以有效控制总误差，从而获得他想要的结果。
布伦的这个思路，开启了解析数论之中一大类方法的大门。我们不知道怎么数素数，是因为它们的分布实在难以捉摸。而现在，布伦的筛法指出了一条用简单的集合来逼近素数集合的道路，这自然令数学家如获至宝。
在更精细的筛选与更微小的误差之中寻找那一线的平衡，这大概是筛法的醍醐。但这样的平衡，显然依赖于我们如何估计每一项的具体数值。可以每项分开估计，但合起来也无伤大雅。无论做法如何，估计的误差越小，筛选可以越深入，结果也越逼近真实。即使估计方法不变，如果有更好的方法决定每一项的取舍，取贡献大而误差小之项，而舍贡献小而误差大之项，当然也能得到更好的结果。
但为何拘泥于每一项?对于每一项，为什么要么取要么不取，不能站在中间立场吗?只要能控制误差，将每一项拆解开来，根据贡献和误差来赋予不同的权值，再求和，这样的结果岂不是更精细?再者，有时不拘泥于素数，放松限制去筛选那些“殆素数”，也就是那些只有少数几个素因子的数，在某些情况下也能得到更好的结果。在严谨的前提下，只要能做出更好的结果，数学家对于突破原有思路毫不犹豫。
这就像一场对素数的围捕战。数学家们拿着筛法这个工具，不断打磨它、改装它，不断练习，正着用，反着用，与别的领域的工具配合着用，绞尽脑汁发明新的用法，殚精竭力用它来围捕那些调皮的素数。欲擒故纵，反客为主，无中生有，李代桃僵，数学家们在对各种各样素数的围捕中，借着筛法，将一套兵法使得淋漓尽致，精彩之处，三国亦为之失色。