素数并不孤独( 四 ) _小知识

在筛法的力量下，孪生素数终于露出了一鳞半爪：
在1920年，同样是布伦，证明了有无穷对9-殆素数，它们之间只相差2 。所谓9-殆素数，或者更一般的k -殆素数，就是那些至多有k 个素数因子的自然数(包括重数) 。而1-殆素数就是素数。模仿哥德巴赫猜想的记号，布伦证明的就是(9 - 9) 。
在1947年，匈牙利数学家雷尼(A. Rényi)证明了，存在一个常数k ，使得有无穷对自然数m,p ，其中p 是素数，m 是一个k -殆素数，而两者之间只相差2 。也就是说，他证明了(k - 1) 。
在1950年，挪威数学家塞尔伯格(A. Selberg)证明了，有无穷对整数n 和n+2 ，它们的素因子一共至多有5个。而孪生素数定理相当于素因子至多有2个的情况。
在1966年，意大利数学家E. Bombieri与英国数学家H. Davenport证明了，孪生素数的密度至多是8C 2 (lnN) ?2。也就是说，孪生素数的数量至多是哈代与李特尔伍德所估计的4倍。
在1978年，在证明了哥德巴赫猜想的(1 + 2)后，陈景润用相同的筛法改进了雷尼的结果：他证明了，有无穷对自然数m,p ，其中p 是素数，m 是一个2 -殆素数，而两者之间只相差2 。也就是说，他证明了(2 - 1) 。
而最新的结果则是D. Goldston、J. Pintz和C. Yildirim在2009年发表的。他们证明了，两个素数之间的差距，相比起平均值而言可以非常小。在假定某个强有力的猜想后，他们还证明了，存在无限对素数，它们之间相差不过16，与目标的2只有八倍的差距。但问题在于，即便16这个数目相当诱人，但他们的假定过于强大，强大得不像是对的，也使人们对他们结果的信心打了个折扣。