素数并不孤独( 二 ) _小知识

与此同时，行外人的评价却似乎异常中肯：“为什么素数要相加呢?素数是用来相乘而不是相加的” 。
当然，如果只将素数用在只与乘法有关的问题上，事情当然简单得多。但如果我们想要更多地了解自然数的玄机，那必然涉及到加法和乘法的相互作用。缩在“容易”的圈子里从来无补于事。如同探险家一般，数学家也有着征服难题的渴望，因为在那困难的山巅上，有着无尽的风光。为了难题产生的新方法、新思想，可能会开辟出意想不到的新天地。
孪生素数的难点在于，它是一个关于素数的具体分布的问题，而我们对素数的具体分布知之甚少。素数定理只告诉我们素数的大体分布，而对于具体一个个素数的位置却无能为力。如同繁星，素数点缀着自然数的夜空，放眼望去，它们朝向无限的地平线愈见稀薄。但要想分清这无限繁星中的每一颗，即使用上最好的望远镜，也无可奈何。
所以，在很长一段时间里，对于孪生素数猜想，人们仍然停留在揣测和估计的层面。
首先尝试直接猜测的，是英国数学家哈代(G. H. Hardy)和李特尔伍德(J. E. Littlewood)，他们在1923年开始了一系列的猜测。
素数定理告诉我们，对于足够大的自然数N，在N附近随机抽取一个自然数n，它是素数的概率大概就是(lnN) ?1。那么，在同样的区间，随机独立选取的两个数都是素数的概率就是之前概率的平方，也就是(lnN) ?2。
那么，在N附近随机抽取一个自然数n，n和n+2是一对孪生素数的概率是否就是大概(lnN) ?2 呢?很遗憾，并非如此，因为n和n+2并非完全独立的，所以不能直接应用之前的结果。不过这个估计虽不中亦不远，只要乘上一个修正系数，借此表达两个数相差2的性质，就能得到对孪生素数密度的估计：2C 2 (lnN) ?2。在这里，修正系数C 2 是一个关于所有质数的无穷乘积。如果密度确实如此，那么显然有无限对孪生素数，孪生素数猜想应该是正确的。
实际上，这是所谓“第一哈代-李特尔伍德猜想”的一个特殊情况，难度甚至远高于孪生素数猜想：它不仅隐含了孪生素数猜想，而且对具体的分布作出了精细的估计。虽然上面的论证看上去很诱人，但它并不是一个严谨的证明，因为它的大前提——素数是随机分布的——本来就不成立。素数的分布有着深刻的规律，远远不是一句“随机分布”所能概括的。
但哈代和李特尔伍德并非等闲之辈，作为当时英国的学科带头人，既然提出这个猜想，当然经过了深思熟虑。现在看来，依据之一是，望向无限，素数的分布的确看似随机：对于那些“简单”的操作(比如说加上2)来说，数值越大，越靠近无限的地平线，看上去也越“随机” 。所以，在考虑各种素数形式的分布时，假定素数按照素数定理的密度随机分布，不失为一个估计的好办法。更为重要的是，数值计算的结果也与哈代和李特尔伍德的猜测所差无几。这更增添了我们对这个估计的信心。
然而，猜测只是猜测，不是严谨的证明。无论用数值计算验证到什么高度，有多符合，对于无限而言，都是沧海一粟。李特尔伍德本人就曾证明过一个类似的结论。
人们此前猜测，小于某一个数N的素数个数π(N) 必定小于所谓的“对数积分”函数li(N) ，而根据素数表，这个规律直到10的14次方都成立。但李特尔伍德在1914年证明了一个惊人的结论：对于足够大的N ，不仅π(N) 可以大于li(N) ，而且它们的大小关系会无穷次地逆转!但直到今天，对于第一次打破这个规律的N，我们仍然不知道它的具体数值，只知道它大概是个有三百多位的数。
这个例子足以说明素数可以多么深不可测而又出人意料，同时提醒我们，面对无限，不能掉以轻心。无论有多少计算的证据，都不能轻易下定论。征服无限的工具，只有严谨的数学证明。
狂沙淘尽始得金
既然难以知道孪生素数具体有多少，那么不妨换个思路：孪生素数最多能有多少呢?
这就是数学家的思路，如果正面久攻不下，那么就从侧面包围。当难以直接得到某个量时，数学家的“本能”会指引他们，尝试从上方和下方去逼近，证明这个量不可能小于某个下界，或者不可能大于某个上界。如此慢慢缩小包围圈，就有希望到达最终的目标。
而在1919年，挪威数学家布伦(V. Brun)走的就是这么一条路：他证明了，孪生素数的密度不可能超过O(N(lnlnN) 2 (lnN) 2 )。籍此，他证明了所有孪生素数倒数的和是有限的。要知道，所有素数倒数的和是无穷大，可见孪生素数在素数中有多么稀少。人们将所有孪生素数的倒数和称为布伦常数，它的具体数值大约是1.90216... 。