量子力学|关于量子力学的基本原理( 五 ) |作者：郑伟谋(中国科学院理论

泡利不相容原理是原子物理学与分子物理学的基础。粒子全同性不涉及任何位势或任何相互作用，是纯粹的一种量子性质，完全没有经典物理学对应。泡利不相容原理可用来解释多种不同的物理与化学现象，包括原子的性质、大块物质的稳定性与性质、中子星或白矮星的稳定性、固态能带理论，直至夸克色荷概念的提出。假若泡利不相容原理不成立，则各种原子中的所有电子都将处于同一基态，原子的尺寸会变得很小；除了与原子核的电荷平方成正比的电离能以外，元素与元素之间不会有什么显著差别；元素的性质不会出现周期性；化学与生物学不复存在，更不会有任何地球生命！只因原子内绝对不能有两个或多个的电子处于同样状态，才有化学的变幻多端，才有绚丽多彩的世界。当向公众普及量子力学时，应该首先介绍全同性原理。
菲尔兹在1939年明确地表述了自旋和统计间的关联， 1940年泡利尝试给出证明。但是，实际而言，所谓的“自旋—统计定理”只展示出了自旋与统计间的关系符合相对论性量子力学，自洽而无矛盾。泡利于1947年承认，他无法对于泡利不相容原理给出一个逻辑解释，也无法从更基础理论推导出这一原理。费曼在其著名的讲义里有清楚的申明：“为什么带半整数自旋的粒子是费米子，它们的概率幅是以负号相结合？而带整数自旋的粒子是玻色子，它们的概率幅是以正号相结合？我们很抱歉不能给你一个简单的解释。泡利从量子场论与相对论出发，以复杂的方法推导出一个解释。他证明了这两者必须搭配的天衣无缝。我们希望能从更基本的层级复制他的论述，但是尚未获得成功这或许意味着我们还未完全了解所牵涉到的基本原理。想要找到这基本原因的物理学者至今仍旧无法得到满意答案！”也许应该将全同性原理和自旋—统计关联作为独立的原理提出。
区分粒子等同和不等同这两种情形的必要性，还涉及统计力学中的吉布斯佯谬，即吉布斯混和熵问题。吉布斯早就注意到，如果两个等同的流体块位于相邻的两个小室中，隔板移开时熵应该不变，而如果流体是不同的就会有熵变。体积为V的无相互作用体系中，粒子处于任一处的概率为1/V ，位形空间的熵项为NlogV 。如果体系扩为二倍，体积为2V的空间被隔板在正中间分隔为相同的两半，则隔板移除前后的熵分别为2NlogV和2Nlog(2V) ，二者不等，也不满足熵的广延性。量子不可分辨性引入因子1/N! ，单粒子的有效体积也由V改为V/N ，位形空间的熵改为Nlog(V/N) 。于是，隔板移除前后的熵均为2Nlog(V/N) ，不出现混和熵。吉布斯佯谬由引入量子等同粒子的不可分辨性而得以澄清。
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我们的世界是复的
戴森和杨振宁关于薛定谔发现波动力学方程的历史回顾，对于理解量子力学的实质很有助益，可惜一般量子力学教科书中不记述。 1925年11月，薛定谔在阅读爱因斯坦关于玻色—爱因斯坦统计的论文时，得知德布罗意的博士论文，深有感触。在一次研讨会上，德拜指出，既然粒子具有波动性，应该有一种能够正确描述这种量子性质的波动方程。他的意见给予薛定谔极大的启发与鼓舞，他开始寻找这种波动方程。
“哈密顿类比”又称“光学—力学类比” ，是哈密顿在研究经典力学时给出的理论。哈密顿指出，在经典力学里粒子的运动轨道，就如同在几何光学里光线的传播路径；垂直于这轨道的等作用量曲面，就如同垂直于路径的等传播时间曲面；描述粒子运动的最小作用量原理，就如同描述光线传播的费马原理。哈密顿发现，使用哈密顿—雅可比方程，可以推导出最小作用量原理与费马原理；遵守费马原理的光线“粒子”等同于遵守最小作用量原理的粒子。很多光的性质，例如衍射、干涉等等，无法用几何光学的理论来作解释，必须用波动光学的理论分析。这意味着几何光学不等价于波动光学，几何光学是波动光学的波长远短于空间参考线度的极限情形。哈密顿—雅可比方程似乎也有可能描述波动光学里遵守惠更斯原理的光波，只要将光线的等传播时间曲面改为光波的波前。
薛定谔寻思，经典力学与量子力学之间的关系，就如同几何光学与波动光学之间的关系；哈密顿—雅可比方程应该对应于量子力学的波动方程的某种极限。按照先前哈密顿类比的模式，依样画葫芦，应该可以找到正确形式的波动方程。设函数S(q,t)的等值面的运动作为时间t的函数，由初始位置在S-等值面上q点处的粒子的运动来定义。这种等值面的运动可想象为q空间中波的运动，虽然它并不恰好满足波动方程。为演示此点，让S表示波的相位：ψ=ψeiS/ ，或者写S=-ilogψ ，此处引入常数以无量纲化指数宗量；波的振幅变化可让S取复数来表示。于是，可写下哈密顿—雅可比方程：