量子力学|关于量子力学的基本原理( 六 ) |作者：郑伟谋(中国科学院理论

它是非线性版的薛定谔方程。这想法很正确，经过一番努力，他成功地构思出薛定谔方程。检试方程成败的最简单问题应该是氢原子，必须能得出玻尔模型的理论结果。他写下相对论波动方程，但不成功，然而很快在1925年圣诞节前后发现，非相对论的方程给出正确的巴尔末光谱系。 1926年，他正式发表了非相对论性波动方程与氢原子光谱分析结果。这篇论文迅速在量子学术界引起震撼。普朗克表示他“已阅读完毕整篇论文，就像被一个谜语困惑多年渴慕知道答案的孩童，现在终于听到了解答” 。爱因斯坦称赞薛定谔作出决定性的贡献，称其著作的灵感如同泉水般源自一位真正的天才。
关于薛定谔，戴森评论道[4] ，大自然开的最大玩笑是-1的平方根。薛定谔1926年发明波动力学时将之加在他的波动方程中。薛定谔从统一力学和光学的想法出发。先此百年，哈密顿用同样的数学描述光线和经典粒子轨道，统一了经典力学和射线光学。薛定谔的想法是将之推广到波动光学与波动力学的统一。波动光学已经有了，但波动力学还没有。薛定谔必须发明波动力学以完成统一。以波动光学为模型出发，他写下力学粒子的微分方程，但方程没有意义。这个方程看起来像连续介质热传导方程。热传导与粒子力学没有明显联系。薛定谔的想法似乎山穷水尽。然而，意外发生了。薛定谔将-1的平方根加在方程中，方程一下子就有意义了。它一下子变成波动方程而不是热传导方程。并且，薛定谔高兴地看到方程有对应于玻尔原子模型的量子化轨道的解。薛定谔方程原来可以正确描述我们所知道的原子所有行为！它是所有化学和大部分物理的基础。 -1的平方根意味着自然界依复数而非依实数运行。这个发现让薛定谔也让所有人大吃一惊。在整个19世纪，数学家们大大发展了复变函数论，但只认为复数不过是作为实际生活中来的一种有用且精致的抽象而被人类发明的作品。他们没有料到自然界早已走在前头。
黄克孙2000年的《杨振宁访谈录》[5]中关于薛定谔有一段生动的描述：薛定谔不喜欢i 。经典图像里，波就是波，与i不搭界。用i只是数学花招。薛定谔写了
没有i 。他把手稿寄给洛伦兹，洛伦兹回信说，文章很有意思，但我有几个问题，他列了15个。其中一个说，你的公式不该用E 。你有E没有t ，但应该像经典力学一样有t无E ，由t得出E 。薛定谔想了想，当然最后E变成了i(/t) 。但是，他并不喜欢，因为他不喜欢i 。那么，他做了什么呢？他折腾了几周，一天兴高采烈：做了两次，行了！从i(ψ/t)出发，再次取i(/t) ，于是， -2(2ψ/t2)=H2ψ ，不再有i了。他十分高兴。怎么知道他高兴？因为他写信告诉一个朋友说“我如释重负” 。然而，一周之后他写信说，还是不管用，因为如果H显含时间，你再次微分时还会有附加项。直到这时候他才写下i 。接受i并不容易，只是慢慢接受了。
谢惠民指出：与i的不期而遇，是从三次方程的根式求解意外引发出的一个重要事件[6] 。也许会使人奇怪的是，在历史上复数的出现并不是和x2+1=0这类二次方程求解相联系的。因为在遇到有一对共轭复根的二次方程时，当时数学家的一般做法是不予理睬，认为该方程没有解，或者说它根本没有意义便了事。但这种弃之不论的做法在三次方程的求解中却遇到了麻烦。例如，求解x3-63x-162=0 。这个方程不难因式分解求解，但如果用卡尔丹公式，则。不承认虚数有意义，做不了上述运算。
所有物理测量的结果是实的，量子力学之前的物理理论本质上是实的。但是，量子力学必须是复的，首先波函数必须在复空间定义。薛定谔波动力学只含时间的一阶导数且带因子i=-1 ，此因子i导致波函数必须是复的。通常的波动方程2/x2-u-22/t2=0只含时间的二阶导数，通解f(x±ut)为实的，显著不同。量子力学将实时间指数衰减替换为虚时间的相位。通过对复的波函数取模数，化为玻恩解释的实概率，既自然又看似简单，但相位的角色实在不那么简单。要理解量子力学，实在必须理解这个i！
07
微扰处理的收敛性[7]
设未微扰哈密顿算符有一以算符完全集J标记的本征矢Φ ，而Ψ是有可能与Φ建立一一对应的微扰哈密顿算符的本征矢，设Φ和Ψ二者均已归一。此可能性存在的条件为
如果给定的Φ和Ψ满足(7) ，则一一对应已建立，因为，不存在第二个Ψ也满足(7) 。如果对于任何特定的Φ ，不存在一个Ψ满足(7) ，此时仍可能存在的两个本征矢，它们有相近的Φ分量。条件(7)提供了度量未微扰本征矢和微扰本征矢间接近程度的定量标准，确定何时微扰变换存在，进而可将未微扰本征矢的指标或量子数赋予微扰本征矢。