量子力学|关于量子力学的基本原理( 四 ) |作者：郑伟谋(中国科学院理论

通过将能量E换成i/t还可得到时间演化方程为
薛定谔提出的量子力学基本方程，是将物质波的概念和波动方程相结合建立的偏微分方程，可描述微观粒子的运动，但也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。波函数ψ(r,t)必定是复的，因为方程(2)右边有i ，实波函数将导致矛盾。方程只含一阶时间微分，如果初始值ψ(r,t)给定，则所有时间的ψ(r,t)也定了。方程是线性的，因而有叠加性：如果ψ1(r,t)和ψ2(r,t)为解，则a1ψ1(r,t)+a2ψ2(r,t)也是解，此处a1 ， a2为任意复常数。
量子力学的基本概念是可观察量、观测值和量子状态。空间中一个粒子的量子状态由波函数ψ定义，还须满足两个基本要求。 (1)可积性：∫ψ*ψdτ存在，这里积分范围是ψ独立变量的取值范围。如果积分常数为1 ，则称ψ为归一的；(2)单值性：ψ对于其独立变量为单值的，单值性对于角度变量尤为重要。
量子力学中，虽然每次测量的结果为确定值，但结果一般不唯一，不能预测单次测量的结果，只能给出各种可能值及其出现概率。可能值取决于相应算符的本征方程，而其概率可从量子态波函数计算。量子态决定了量子系统所有可观察量的观测值的概率分布。反过来说，量子态也可由可观察量观测值的概率分布确定，但所有可观察量间并不独立，可只关注特定的某些可观察量。
量子力学的基本原理可表述作：
(1)量子力学中，状态由满足可积性和单值性的波函数ψ定义。例如，氢原子中电子的状态波函数ψ(r)或者更一般的含时间的波函数ψ(r,t) 。
(2)每个可观察量p对应于一个线性算符。例如，坐标、动量和能量分别有算符对应：
对应于一个可观察量的算符如何取是后验的，即其正确性只能靠实验来验证。算符为线性，意味着它作用于线性组合状态a+bψ的结果为，即为分别作用结果的叠加，此处a和b为任意复常数。量子力学为线性理论，麦克斯韦的电磁理论也是线性的，但牛顿力学不是。仅就线性而言，量子力学比经典力学简单得多。
【量子力学|关于量子力学的基本原理】特别地，经典哈密顿量H的量子力学对应是哈密顿算符。由H=E写出薛定谔方程：
描述波函数或量子状态的时间演化。可以通过改变哈密顿算符，影响量子状态的演化。
(3)可观察量有且仅有的观测值pλ ，由算符的如下本征方程给出：
这里本征方程的解ψλ称为本征函数，以之为波函数的量子态称为算符的一个本征态，而pλ称为本征值。算符的本征值的全体，称为它的谱。显然， ψλ乘以任意常数c后得到的cψλ ，也为同本征值的本征函数，它们看作是等价的。
量子力学仅描述测量的结果。在测量获得观测值pλ的同时，体系状态也变到本征态ψλ 。
(4)在状态ψ下可观察量p的一系列观测值的期望或平均为
正是这条性质导致玻恩关于波函数的概率解释；只有波函数可归一才有概率解释。如果状态ψ正好是算符的本征态，则有，即观测值的期望等同于观测值，表明此时观测到pλ是必然事件。投影算符的期望，给出测量p的结果为pλ的概率。
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再一条原理：全同性
20世纪早期，人们渐渐发现，假若原子的束缚电子数不是奇数而是偶数，则原子在化学上更为稳定。里德伯在1914年建议，主量子数为n的电子层最多只能容纳2n2个电子，但是他并不清楚为什么在表达式里会出现因数2 。泡利于1925年通过分析实验结果提出他的不相容原理：在量子力学里，所有同种微观粒子是不可分辨的，两个电子不能处于相同的量子态。泡利在1925年的论文中并没有说明为什么自旋为半整数的费米子遵守泡利不相容原理。
泡利不相容原理引申出的全同性原理，其数学表述是：多粒子体系的波函数对于同种粒子的交换不导致新态，因而必须或者是对称的或者是反对称的，前者称为玻色子，而后者称为费米子。粒子为玻色子或费米子，取决于其内禀性质自旋为整数或半整数。费米子的波函数对于粒子交换具有反对称性，因此遵守泡利不相容原理，必须用费米—狄拉克统计描述其统计行为。玻色子的波函数对于粒子交换具有对称性，因此它不遵守泡利不相容原理，其统计行为符合玻色—爱因斯坦统计。任意数量的全同玻色子可以处于同一量子态，如激光产生的光子和玻色—爱因斯坦凝聚。粒子全同性影响统计力学中构象数的计算，在统计力学中有重大后果。玻色统计在1924年提出，而费米统计在1926年提出。