50、5 （定常,设连续时间线性时不变（定常）系统,对应的时间离散化系统,其中G=eAT H,A的特征值,结论12 如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测） ， 则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的,证明,用反证法,设连续系统不能控 ， 而对于某采样T离散化后的系统却是能控的 。
则,rankH、GH、G2H、Gn-1H=n,1/3,27/45,容易验证,为可交换阵 ， 故,由于eAiT可用I、A、A2、An-1线性表示 ， 故,连续系统是能控的 ， 矛盾,本定理也可叙述为： 如果离散化后的系统是能控（能观测）的 ， 则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的,2/3,28/45,结论13 。

51、 ：设连续系统（A、B、C）能控（能观测） ， 则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是,不是A的特征值 。
其中k为非零整数,结论14 对时间离散化 ， 使采样周期T的值,则时间离散化系统能控的充分必要条件是,eATB为行线性无关,结论15 连续时间线性时不变（定常）系统 ， 其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为 ， 采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值1、2 ， 不存在非零整数k ， 使,成立,对于单输入单输出系统 ， 本定理是充分必要的,3/3,29/45,4.7能控性、能观测性与传递函数的关系,结论16 如果A的特征值互不相同 ， 则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩 。

52、阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消,结论17 单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消,结论18 单输入、单输出系统（A、b、c） ， 如果A的特征值互不相同 ， 若传递函数存在零、极点对消 ， 则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消 ， 则系统是状态完全能控且完全能观测的,证明：单输入、单输出系统动态方程为,如果A的特征值互不相同 ， 则一定可利用非奇异线性变换 ， 使A成为对角阵 。
即,1/4,30/45,状态方程可写为,在初始条件为零的情况下 ， 拉氏变换得,对输出方程拉氏变换,此式即为传 。

53、递函数的部分分式,2/4,31/45,若传递函数存在零、极点对消 ， 传递函数的部分分式中应缺少相应项 。
如传递函数中相消的零、极点为s-k ， 则说明fkk=0 ， k=0 ， fk 0系统是不能控的；fk=0 ， k0 ， 系统是不能观测的；k=0 ， fk=0 ， 系统是既不能控也不能观测的 。
若传递函数不存在零、极点对消 ， 传递函数的部分分式中 ， 应有fkk0（k=1、2、n）系统是既能控又能观测的,3/4,32/45,例,设单输入、单输出系统的传递函数,由于存在零、极点对消 ， 系统不可能是既能控又能观测的,结论19 如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵,的各行在复数域上线性无关 ， 则系统是能控的 。
（充分必要 。

54、条件,结论20 如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵,的各列在复数域上线性无关 ， 则系统是能观测的 。
（充分必要条件,4/4,33/45,48能控规范形和能观测规范形：SISO情形,结论21：连续时间线性时不变（定常）系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变 。
能控性指数 ， 能观测性指数也保持不变,定义 一个单输入系统 ， 如果其A、b阵具有如下形式,则系统一定能控 。
这种形式的A、b阵称为能控标准形,1/5,34/45,结论22：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变（定常）系统,则通过变换矩阵(详见P99,2/5,35/45,通过引入线性非奇异变换,可将系统 。

55、变换成能控规范形 ， 即,导出,3/5,36/45,定义 一个单输出系统 ， 如果其A、c阵具有如下形式,则系统一定能观测 ， 此时的A、c阵称为能观测标准形,结论23：对完全能观测的n 维单输入单输出连续时间线性时不变（定常）系统 ， 其能观测规范形可基于线性非奇异变换,导出,4/5,37/45,其中,5/5,38/45,49 能控规范形和能观测规范形MIMO情形（自学,旺纳姆能控规范形 ， 旺纳姆能观测规范形 龙伯格能控规范形 ， 龙伯格能观测规范形,1/1,39/45,410连续时间线性时不变系统的结构分解,系统按能控性分解,设不能控系统的动态方程为,其能控性矩阵的秩为 rn ， 选出其中r个线性无关列 ， 再加任意n 。

56、-r个列 ， 构成非奇异变换T-1,其中,1/6,40/45,经非奇异变换后 ， 系统的动态方程写为,于是可得能控子系统动态方程为,不能控子系统动态方程为,2/6,41/45,例,已知,试按能控性进行规范分解,解,系统不完全能控 ， 取,能控子系统动态方程为,不能控子系统动态方程为,3/6,42/45,系统按能观测性分解,设不能观测系统的动态方程为,其能观测性矩阵的秩为ln ， 选出其中l个线性无关行 ， 再加任意n-l个行 ， 构成非奇异变换T,能观测子系统动态方程为,不能观测子系统动态方程为,4/6,43/45,系统按能控性和能观测性的标准分解,设系统（A、B、C）不能控、不能观测 ， 可先对系统按能控性分解 ， 即令, 。

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标题：线性系统理论全PPT课件-309( 八 )