57、再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解,最后得到,5/6,44/45,经T-1变换后 ， 系统的动态方程为,能控、能观测子系统动态方程为,能控、不能观测子系统动态方程为,不能控、能观测子系统动态方程为,不能控、不能观测子系统动态方程为,6/6,45/45,第5章 系统运动的稳定性,51 外部稳定性和内部稳定性,定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即： u(t)1,的任意输入u(t) ， 对应的输出y(t)均为有界 ， 即,结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统 ， tt0,+）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为 ， 存在一个有限正常数 ， 使对一切 。

58、tt0,+)脉冲响应矩阵H(t,)所有元均满足关系式,证明,考虑SISO情形,充分性,1/4,1/18,BIBOBounded Input Bounded Output,必要性,采用反证法 ， 即系统BIBO稳定 ， 却存在某个t1使,可以取,有,矛盾,结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统 ， 令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数 ， 使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式,2/4,2/18,结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统 ， 令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负 。

59、实部,定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定 ， 是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对tt0,+)有界 ， 并满足渐近属性 ， 即,结论4：设n维连续时间线性时变自治系统,系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵(t,t0)对所有tt0,+为有界 ， 并满足,结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统,内部稳定的充分必要条件为,或矩阵A所有特征值均具有负实部 ， 即：Rei(A)0,3/4,3/18,自治系统:自控中-网络中,内部稳定性和外部稳定性的关系,结论6：对连续时间线性时不变系统 ， 内部稳定BIBO稳定 ， 反之不成立 。
若系统能控且能观测 ， 则内部稳定BIBO稳定,4/ 。

60、4,4/18,52 李亚普诺夫意义下运动的稳定性的一些基本概念,李亚普诺夫第一方法：间接法 李亚普诺夫第二方法：直接法 自治系统：没有输入作用的一类动态系统,平衡状态：状态空间中满足,的一个状态,李亚普诺夫意义下的稳定,称自治系统,的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定 ， 如果对任给一个实数0 ， 都对应存在另一位赖于和t0的实数(,t0)0 ， 使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)都满足不等式,t；x0,t0)-Xe,稳定的几何解释（P125） 李亚普诺夫意义下一致稳定（P125） 时不变系统的稳定属性（李亚普诺夫意义下稳定等价于一致稳定 。

61、 ） 李亚普诺夫意义下稳定的实质 （理论上的一致稳定 ， 工程意义的临界不稳定,1/2,5/18,渐近稳定（工程意义下的稳定,称自治系统,的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定 ， 如果) Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定 ， ）对实数(,t0)0和任给实数0使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)满足不等式(t；x0,t0)-Xe,不稳定,称自治系统,的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为不稳定 ， 如果不管取实数0为多么大 ， 都不存在对应一个实数(,t0)0 ， 使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)满足不等式(t 。

62、；x0,t)-Xe,不管初始偏差有多大 ， 系统总是稳定的 ， 则称系统是大范围稳定的 。
不管初始偏差有多大 ， 系统总是渐近稳定的 ， 则称系统是大范围渐近稳定的 。
大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态 。
为了满足稳定条件 ， 初始偏差有一定限制 ， 则称系统是小范围稳定的 。
对于线性系统 ， 若在小范围稳定 ， 则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定 ， 则必大范围渐近稳定,2/2,6/18,P126,53李亚普诺夫第二方法的主要定理,结论7：对连续时间非线性时变自治系统,X=0为系统平衡状态 ， 若可构造对x和t具有连续一阶偏倒数的标量函数V(x,t) ， V(0,t)=0 ， 且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件,V(x,t)正定且 。

63、有界 ， 即存在两个连续的非减标量函数(x)和(x) ， (0)0 ， (0)0 ， 使对所有tt0,)有：(x)V(x,t)(x)0 ) V(x,t)对时间t的导数负定且有界 。
)当x ， 有V(x,t) 则系统的原点平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定,结论8：对连续时间非线性时不变自治系统,X=0为系统平衡状态 ， 若可构造对x具有连续一阶偏倒数的标量函数V(x) ， V(0)=0 ， 且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件,V(x)为正定 ) 为负定 )当x ， 有V(x) 则系统原点的平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定,1/4,7/18,例,设系统状态方程为,坐标原点是系统的一个平衡状态 ， 试确定该系统的稳定性,解,取一 。

来源：(未知)

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标题：线性系统理论全PPT课件-309( 九 )