22、区间t0,t上绝对可积,2/2,2/29,输入矩阵B(t)的各个元ij(t)在时间区间t0,t上为平方可积 ， 即,系统矩阵A(t)的各个元ij(t)在时间区间t0,t上为绝对可积 ， 即,从数学观点 ， 上述条件可减弱描述为,32 连续时间线性时不变（定常）系统的运动分析,系统的零输入响应,令输入u(t)=0而得到系统自治状态方程,结论1. 系统自治状态方程的解（求解以上微分方程） ， 具有以下形式,其中,若初始时间取为t00则,1/12,3/29,线性定常齐次状态方程的解,线性定常齐次状态方程的解又称为自由解、零输入响应 。
状态方程： 给定初始时刻 时的状态向量值： 则 任意时刻的状态： 此即齐次状态方程 。

23、的解 。
若初始时刻 则其解为： 标量方程： 证明：与标量微分方程的求解类似 ， 先假设齐次状态方程的解X（t）为t的向量幂级数形式 ， 即： 假设,则： 代入齐次状态方程得： 两边比较系数 ， 有,其中 ，把 代入 得： 上式括号内是一个nn矩阵 ， 它是一个矩阵指数函数 ， 记为， 即： 于是 ， 齐次状态方程的解可表示为,线性定常齐次状态方程的解,2/12,4/29,的解释,1）系统自由运动是 从x0出发各个时刻的变换点所组成的一条轨线 。
（2）自由运动轨线的形态-零输入响应形态 ， 即： （3）线性定常系统稳定充要条件： 即：A的特征值均有负实部,矩阵指数函数的性质,4）设A和F为两个同维可交换方阵 ， 即AF=FA, 。

24、则有,2/12,4/29,矩阵指数函数的算法,1：定义法,2：特征值法,1）若,则,2）若,则,3/12,5/29,共轭矩阵 ， 相似矩阵 ，Hermite矩阵 相似变换矩阵 ， 过渡矩阵,矩阵特征值与特征向量求解,Why,3）若,其中,则,其中,4/12,6/29,例1,5/12,7/29,例2,6/12,8/29,3：有限项展开法,设1、2、n为A的n个互异特征值,而,从中可求出1、2、n,若i为l重特征值 ， 则相应的l个方程为,7/12,9/29,例3,令,8/12,10/29,4：预解矩阵法,系统状态运动规律的基本表达式,设系统的状态空间描述为,有表达式,对初始时刻t0=0情形有表达式,9/12 。

25、,11/29,初始状态+外部作用,非齐次状态方程的解,状态方程,基于特征结构的状态响应表达式,设系统的状态空间描述为,A的属于12n线性无关右特征向量组,A的属于12n线性无关左特征向量组,12n为A的n个两两相异的特征值,右特征向量矩阵,10/12,12/29,对于矩阵A ， 若AX = X存在特征向量R ， 则称R为右特征向量；YA=Y存在特征向量L ， 则称L为左特征向量,结论,对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统 ， 基于特征结构的矩阵指数函数eAt的表达式,左特征向量矩阵,显然,11/12,13/29,结论,对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统 ， 基于特征结构的零输入响应x0u(t 。

26、)零初态响应x0 x(t)以及状态运动规律x(t)的表达式为,12/12,14/29,3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵（线性定常,设连续时间线性时不变系统 ， 状态方程为,基本解阵,矩阵方程,的解阵,称为连续时间线性时不变系统(1)的基本解阵,其中H为任意非奇异实常阵,结论：(1). 基本解阵不唯一 (2). 由系统自治方程,的任意n个线性无关解为列可构成一个基本解阵,3).连续时间线性时不变系统(1)的一个可能的基本解阵为,1/7,15/29,运动状态间转移,可逆矩阵 ， 行列式不为零,状态转移矩阵,矩阵方程,的解阵(t-t0,称为连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵,结论,1:连续 。

27、时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵可由基本解阵定出,2:状态转移矩阵 (t-t0) 唯一 ， 与基本解阵的选取无关,3:状态转移矩阵的形式为,基于状态转移矩阵的系统响应表达式,2/7,16/29,状态转移矩阵表示的系统运动规律表达式,状态转移矩阵的性质,3/7,17/29,线性时变系统的输出为,假设初始条件为零 ， 输入信号中 ， ui(t)为单位脉冲信号,其余的输入信号为零 。
即,则输出为,3.4连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵（线性定常,4/7,18/29,定义：表hi j(t-)为第j个输入端在时刻加以单位脉冲(t-)而所有其他输入为零时 ， 在第i个输出端的脉冲响应 ， 对p维输入 ， q维输出连续时间 。

28、线性时不变系统 ， 脉冲响应矩阵定义为零初始条件下以脉冲响应 hi j(t-)为元构成的一个输出响应矩阵,结论：对p维输入 ， q维输出连续时间线性时不变系统 ， 假设初始状态为零 ， 则系统在任意输入u作用下的输出响应y(t)为,5/7,19/29,脉冲响应矩阵和状态空间描述,结论：对连续时间线性时不变系统(A.B.C.D) ， 设初始状态为零 ， 则系统的脉冲响应矩阵为,结论：两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的脉冲响应矩阵 两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的“输出零状态响应”和“输出零输入响应” 。

来源：(未知)

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标题：线性系统理论全PPT课件-309( 四 )