8、人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1,设k为离散时间变量, x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全国人口数,写成矩阵形式,5/7,9/50,离散时间线性系统的状态空间描述,状态空间描述形式,离散时间线性时不变系统,离散时间线性时变系统,6/7,10/50,离散系统状态空间描述的特点,一是:状态方程形式上的差分型属性（即：状态方程为差分方程 。
） 二是:描述方程的线性属性 。
（状态方程和输出方程的右端 ， 对状 。

9、态x和输入u都 呈现为线性关系 。
） 三是:变量取值时间的离散属性（所有变量只能在离散时刻k取值,离散时间线性系统的方块图,7/7,11/50,X(k+1)=? Y(k)=,2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类,线性系统和非线性系统,设系统的状态空间描述为,向量函数,若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元素为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统,若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统,对于线性系统,非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统,1/2,12/50,时变系统和时不变系统,若向量f,g不显含时间变量t,即,该 。

10、系统称为时不变系统,若向量f,g显含时间变量t,即,该系统称为时变系统,连续时间系统和离散时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统,确定性系统和不确定性系统,称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的,称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机 。

11、变量,2/2,13/50,2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述,由输入输出描述导出状态空间描述,对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述,其传递函数描述,可以导出其状态空间描述为,1/18,14/50,结论1,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,1)m=n,即系统为真情形,证明：设,2/18,15/50,可见,3/18,16/50,令,有,4/18,17/50,2)mn,即系统为严真情形,写成矩阵形式,5/18,18/50,结论2,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,1)m 。

12、=0情形,此时输入输出描述为,选取n个状态变量,6/18,19/50,其对应的状态空间描述为,7/18,20/50,则状态空间表达式为,选择状态变量,2)m0情形,此时输入输出描述为,a,8/18,21/50,其对应的状态空间描述为,其中,9/18,22/50,b,改写为,令,10/18,23/50,结论3,给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为,其极点即分母方程的根,为两两互异实数 ， 则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出,1) mn ， 即系统为严真情形,对应的状态空间描述为,11/18,24/50,2) m=n ， 即系统为真情形,令,对应的状态空间描述为,12/18,25/50,由方块 。

13、图描述导出状态空间描述,例1,设系统方块图如下 ， 试列写其状态空间描述,解,上图等效为,指定状态变量组后 ， 列写变量间的关系方程,13/18,26/50,写成矩阵形式,例2,设单输入单输出系统的传递函数为,试列写其状态空间表达式,14/18,27/50,解,可画出系统结构图如下,写出变量之间的关系,15/18,28/50,写成矩阵形式,16/18,29/50,也可以画出结构图为,可写出系统的动态方程为,17/18,30/50,例3,设,画出结构图,动态方程为,18/18,31/50,2.4 组合系统,2.4.1 并联,系统如图 ， 二子系统并联连接,特点,2.4.2 反馈,系统如图 ， 二子系统并联连接, 。

14、特点,1) 动态反馈,传递矩阵,2.5 线性时不变系统的特征结构,特征多项式,连续时间线性时不变系统,1) 特征多项式,均为实常数,2) 特征方程式,3) 凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理,1/6,32/50,这一定理揭示了线性时不变系统一特性：对系统矩阵A ， 有且仅有 为线性无关 ， 所有 都可表示为它们的线性组合,4) 最小多项式,的各个元多项式之间互质,定义（s）为系统矩阵A的最小多项式 ， 最小多项式（s）也满足凯莱-哈密尔顿定理 ， 即（A）=0,5) 系统矩阵的循环性,如果系统矩阵A的特征多项式(s)和最小多项式（s）之间只存在常数类型的公因子k ， 即,则称系统矩阵A是循环的,6 。

来源：(未知)

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标题：线性系统理论全PPT课件-309( 二 )