自然是一本数学语言的书？应用数学与纯粹数学的区别( 二 ) _小知识

我们已经在伽利略的“三角形、圆形和其它几何图形”中走了很长一段路了。在他的时代里，希望物理学能够只运用几何的概念（从希腊人那里继承而来），或许还可以运用更多的概念(如接触或碰撞的概念、质量或密度的概念)进行管理确实是合理的。但事实并非如此，因为大自然的想象力超越了我们！所以当物理学家继续研究连续不断的新现象领域时，它不得不引入一系列新的物理量（也需要改进旧的物理量）。正是这些独特的物理量（当然，它们对于所描述的系统的价值）成为了物理方程中的符号。
总的来说，如今，我们应该修改伽利略的说法。与其说“自然是一本数学语言的书”，不如说“自然是一本数学语法的书，但具有物理学的语义” 。
与纯粹数学比较什么是纯粹的数学？当我高喊与上面“这两者可以区分”时，到底是什么意思？
出于多种原因，在19世纪中叶出现了将数学作为对任意结构进行研究的思想。这意味着人们开始把数学看作是对数学家假定的支配某些元素领域的任意规则的后果的调查。这些规则是抽象的，因为只有它们的建构行为才有价值。这些元素也是抽象的，除了遵守已公布的规则外，对于它们的性质和彼此之间的关系没有任何假设。

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【自然是一本数学语言的书？应用数学与纯粹数学的区别】几何学提供了一个例子。几何是由一组物质组成（点、线、面）和一些关于这些物体的基本事实组成（例如通过任意的两个点可以绘制一条直线）。但是有几种不同的结构可以回答这个描述。
我们熟悉的二维平面产生了一个完美的几何体。但在球体的表面也存在的大圆距离也相当于平面上直线那样。两者在本质上是不同的，尤其是因为三角形的表现不同。在平面上，它们的角度总是等于180度；而在球体中，它们的角度总是大于180度是由于三角形向外凸出。

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▲此图为一三角形于一双曲抛物面上，另外右下方有两条在欧式几何中应平行的分流线。(图自维基)
在19世纪，数学家还发现了第三种几何形状，称为双曲几何，其中它的三角形的角度加起来少于180度。它描述了我们日常生活中没有经历过的空间。这一发现开始让数学家们将物理空间的实际几何(一个由标尺和量角器所揭示的经验性事物)与纯几何系统的概念区别开来，即使它没有用来描述物理空间，但两者也可以是一致的，值得深入研究。