计算进化史：改变数学的命运｜古老的起源 _小知识

这部精巧之作展现了计算在数学中愈发重要的地位，宣告了算法数学时代的来临。这是一段关于“计算”与“数学”故事，散文般生动的文字让读者在阅读中领略数学思想的精粹。
- Bernard Chazell，普林斯顿大学
计算进化史：改变数学的命运第 1 章从史前数学到希腊数学数学史往往是从公元前 5 世纪的希腊开始讲起的。毕达哥拉斯创立了算术，泰勒斯和阿那克西曼德创立了几何，奠定了古代数学的两大分支。算术和几何的创立，无疑是数学史上的重大突破。然而，这样的讲法却忽略了一个重要的时代，也就是所谓的“史前”数学。人们并没有等到公元前5世纪才开始解决数学问题，特别是那些日常面临的具体数学问题。

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▌会计师和土地测量师
【计算进化史：改变数学的命运｜古老的起源】“数学”活动最古老的痕迹之一是在美索不达米亚发现的一块泥板，它可以追溯到公元前 2500 年。这块泥板记录了这样一个计算：如果一个谷仓里有 1 152 000 份粮食，每个人分得7份，一共可以分给多少人呢？不出所料，结果是 164 571 人，即用 1 152 000 除以 7 得到的结果。看来，美索不达米亚的会计师在算术“诞生”之前很久就知道怎么做除法了。甚至，书写完全有可能就是为了记账才发明的——虽然这些事情很难说得准，但若真是如此，数字就比字母发明得还要早了。有些人也许不愿意接受这种推测，但我们所有的书写文化，很可能都要归功于不怎么浪漫的会计行当呢！
美索不达米亚和埃及的会计师不仅会做乘除法，而且掌握了许多其他的运算，比如解二次方程等。土地测量师则会计算矩形、三角形、圆形的面积。
▌“无穷”的闯入
计师和土地测量师创造的技法构成了史前的算术和几何。那么，公元前5世纪的希腊到底发生了什么特别的事情，独独让这个时刻成为了数学史的开端呢？想要搞清楚这一点，让我先举个例子吧。毕达哥拉斯有个学生，姓名已然不可考了，但他解决了这样一个问题：比如以米为单位，要找出一个等腰直角三角形，让三条边的长度都是自然数。因为三角形是等腰的，两条短边的长度一样，我们就设这个长度为 x，然后设长边，也就是斜边的长度为 y 。因为这又是一个直角三角形，根据毕达哥拉斯定理(勾股定理)，y^2 就等于 x^2+x^2 。这个问题最终归结为：找出两个自然数 x 和 y，使得 2 ×x^2 = y^2 。让我们来试试 4 以内所有 x 和 y 的可能性吧（见表 1.1）。

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4 以内 x 与 y 的所有可能性
在所有这些情况里，2 × x^2≠y^2 。我们还可以在更大的数字范围里继续寻找，事实上，毕达哥拉斯学派很可能寻找了很久，却没能找到解。后来，他们终于相信这个解不存在。他们是怎么说服自己这个解不存在的呢？显然不是试遍了所有的数对，因为这样的数对有无穷多个。你就算试到 1000 甚至 100 万，证实没有数对能满足条件，可你还是没法保证在更大的数字里面不可能有解……
让我们来重新构建一个思路吧，也许毕达哥拉斯学派就是由此得出这个结论的。
首先，在找解的时候，我们只要在 x 和 y 至少有一个是奇数的情况里找就行了。因为比方说 x=202，y=214 是一组解，那么把两个数都除以 2 就可以得到另一组解 x=101，y=107 。所以，至少要有一个数是奇数。再推广一点，我们任取一组解，把两个数反复除以 2，总归会得到一组至少有一个数是奇数的解。如果这个问题有解，就必然存在 x 和 y 中至少有一个是奇数的解。
第二个想法是把数对分成 4 类：

两个数都是奇数；
第一个数是偶数，第二个数是奇数；
第一个数是奇数，第二个数是偶数；
两个数都是偶数。

有了这两个想法，我们就可以分 4 种情况证明，但这 4 种情况中没有一个能够构成 x 和 y 至少有一个是奇数的解，所以这个问题就没有至少有一个数是奇数的解，也就是说，这个问题根本没有解。
我们先从第一类开始：x 和 y 至少有一个是奇数的解不存在。因为如果 y 是奇数，则 y^2 也是奇数。它不可能等于2 × x^2 = y^2，因为后者必然是偶数。这一论证也同样适用于第二类，即 x 是偶数而 y 是奇数。第四类本身就不成立，因为根据定义，数对中的两个数不可能都是偶数。现在只剩下第三类，即 x 是奇数而 y 是偶数。但在这种情况下，2 ×x^2 = y^2的一半是奇数，而 y^2 的一半却是偶数 -- 这两个数不可能相等。