计算进化史：改变数学的命运｜古老的起源( 二 ) _小知识

一个平方数不可能是另外一个平方数的两倍 -- 这个由毕达哥拉斯学派在 2500 多年前得到的结果，迄今在数学上仍占有重要地位。它证明了，如果你画一个短边长度为 1 米的等腰直角三角形，那么以米为单位的话，斜边的长度是 √2。这个数稍大于 1.414，却无法通过两个自然数 y 和 x 相除得到。由此，几何揭示了一些不能通过自然数的四则运算，即加、减、乘、除得到的数。
几个世纪之后，这个发现启发数学家们构造出了新的数——实数。但毕达哥拉斯学派没有走到这一步，他们还没有准备好放弃自然数这个基本观念。对他们而言，这个发现更像一场灾难，而不是前进的动力。
这个问题的革命性不仅仅在于它对未来数学的巨大影响，还在于它本身的性质及其解决的方法。首先，与美索不达米亚泥板上铭刻的把 1 152 000 份粮食除以 7 份的问题相比，毕达哥拉斯学派的问题更为抽象：美索不达米亚的会计师关注的是粮食的份数，而毕达哥拉斯学派的问题仅涉及数字本身。同样，这个问题的几何形式并没有谈到三角形的田地，而就是三角形这个形状。从三角形的田地到三角形，从粮食的份数到数字，迈向抽象这一步的意义不可小觑。田地的面积无非有几平方千米。如果这个问题说的是三角形的田地而不是抽象的三角形，我们挨个尝试 x 和 y 小于 10 000 的所有数字，或许就能解决问题了。然而，抽象的三角形和田地不同，它的面积可以轻易大到上百万甚至上亿平方千米。
公元前5世纪的重大革命，就是抽象的数学对象与自然中的实际物体之间的分离，即使数学对象本身就是从实际物体中抽象出来的也不例外。
数学对象与自然物体之间的分离，让一些人认为数学不适合描述自然物体。这种看法一直活跃到伽利略的时代（公元 17 世纪），直至数学物理的成就将其打消。然而直到今天，一些人的脑海里还残留着数学与人文科学毫无关系的观点。用玛丽娜·雅盖洛的话来说，数学在语言学中的作用就是“将语言学作为‘人文科学’故而本质上就不精确的那一面掩藏在数学公式里” 。
自这场革命之后，数学研究的对象不再是必须与实际物体相关的几何图形和数字。研究对象性质的变化，最终引发了解决数学问题的方法的革命。让我们再来比较一下美索不达米亚泥板上的问题和毕达哥拉斯学派的问题各自的解决方法吧：第一个问题是通过计算解决的——做一个简单的除法就行了，而要解决第二个问题，就需要进行推理了。
要做除法，我们在小学里学过的算法就够用了，美索不达米亚人也会做类似的计算。然而，要进行毕达哥拉斯学派的推理，没有任何算法会教你把数对分成四组。毕达哥拉斯学派应该是发挥了想象力才得到了这个思路。也许有一个门徒明白了数字 y 不能是奇数；过了几个星期或者几个月，另一个门徒又取得了一些进展，发现 x 也不能是奇数；然后，几个月甚至几年都卡在这里，直到又有一个门徒有了新想法。美索不达米亚人在做除法时，他知道自己会得到什么样的结果，甚至事先预知这个除法要算多久。反过来，当毕达哥拉斯学派的门徒面对算术问题时，他不可能知道要花多少时间才能找到一种能够解决问题的推理，甚至不确信是不是有找到答案的那一天。
学生们有时会抱怨数学太难学——数学需要想象力，而且没有系统化的方法来解决所有问题。这种说法确有其道理。数学对于专业数学家来说就更难，有些问题要花几十年甚至几百年才能解决。面对数学问题束手无策并不稀奇，数学家们也会在难题面前“卡壳”，有时甚至要到很久之后才能找到答案。但是，如果做个除法也要“卡壳”好几个钟头，这就说不过去了——因为只要应用一个人所共知的算法就行了。
研究对象性质的变化是如何引发解决问题的方法发生变化的呢？换句话说，古希腊数学是如何完成从计算到推理的标志性转变的呢？毕达哥拉斯学派的问题为什么就不能用计算解决呢？我们再来和美索不达米亚泥板上的问题比较一次吧。泥板上的问题针对的是一个特定的物品，即装满了粮食的谷仓，谷仓的体积是已知的。而在毕达哥拉斯学派的问题中，三角形是未知的——这正是我们需要去求解的对象。这个问题说的不是某个特定的三角形，而是会涉及所有可能的三角形。而且，由于三角形的尺寸没有限制，问题会同时涉及无穷多个三角形。因此，在数学对象的性质发生变化的同时，“无穷”闯入了数学——方法的改变势在必行，要用推理来代替计算。我们在前面已经提到，如果这个问题仅涉及有限个三角形，比如所有边长小于 10 000 米的三角形，那还是可以依靠计算来尝试所有不超过 10 000 的数对。当然，手动计算起来无疑十分麻烦，但问题还是可以有条不紊地得到解决。