形式逻辑的数学原理(5): 推理

迄今为止，形式逻辑仅定性地给出了一个推理定义：从一个或数个已知命题推出未知命题或新命题的过程，谓之推理。显然，上述定义存在两个逻辑失误：1）推出=经推理而导出，故而该定义有违同语反复规则；2）有时推理所导出的命题并不具有语义学上的未知性或新颖性。例如，从一组证据中推出之前未被圈定的嫌疑人符合该定义，可从一组定理中推出黎曼猜想则不具有语义学上的未知性或新颖性，从而不符合前述定义。数理逻辑则试图规避上述定义而直接定义何为有效推理，其表述为：设H₁, H₂, H₃, …, Hn和C分别为谓词公式，若下式为重言式，则称从{H₁, H₂, H₃,…, Hn}到C的推理有效： H₁∧H₂∧H₃, … ,∧Hn→C基于上述考量，本帖尝试给出推理的严格数学定义如下。设P₁, P₂, P₃, … , Pn为有限个谓词命题， C为满足一阶语法的任意命题，若基于<P₁, P₂, P₃, … Pn>能使得P₁∧P₂∧P₃…∧Pn→C可判定，则：（1）该判定过程谓之从<P₁, P₂, P₃, … , Pn>到C的一个推理；（2）C称为该推理的结论；（3）当P₁∧P₂∧P₃…∧Pn→C为重言式时，该推理称为有效推理，结论C称为有效结论。由此可见，拙帖所给出的推理定义摈弃了结论须为未知命题或新命题这一d多余的约束条件，故而完全不同于形式逻辑的推理定义。又因拙帖所给定义强调了前提集合的有序性，因而它也完全不同于经典数理逻辑的有效推理定义。