向量的直观解释

【向量的直观解释】

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在机器学习中我们经常提到向量，究竟什么是向量呢？在本文中，我们将首先研究向量的定义，然后对其数学运算进行直观的解释。
定义向量
我们在X、Y数字网格上绘制一个点（1,2），其中X代表水平方向， Y代表垂直方向。

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我们已经很好地定义了一个向量。实际上，我们不仅要考虑网格上的“点” ，我们还需要考虑“线” 。
在上面的例子中，我们从点(0,0)移动到点(1,2) 。我们的向量就是表示这个运动的直线:

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如果你仔细看，你会注意到我们的直线有两个关键属性：

大小：这是“长度”的同义词。我们也可以将其视为“我们走了多远” 。
方向：与点不同，线实际上是有方向的。

现在我们可以对该概念进行正式定义。根据Miriam Webster ，向量是：
“具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，有向线段的长度表示大小，其空间方向表示方向。 ”
表示向量的一种常见方法是将X维度和Y维度堆叠在一起：

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2D向量的简单表示
我们还可以通过超越二维来扩展我们对坐标系统的理解。
在可感知的现实世界中，我们具有三个维度。我们可以尝试可视化3D向量。我们用原来的向量(1,2) ，然后加上第三维，我们叫它Z ，设它的值为1 。所得向量为（1,2,1）：

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一旦我们开始超越三维空间，人类的大脑就很难将其形象化。
虽然我们的感知空间解释仅限于三维空间，但在数学上可以更进一步进行解释。让我们以iris机器学习数据集为例，这是一个在机器学习中常用的分类数据集:

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在这里，我们有四个“特征”或预测因子-萼片长度，萼片宽度，花瓣长度，和花瓣宽度，我们可以用来预测我们的目标变量：花的类型(表示为0、1或2) 。
上表中的每一行和每一列都可以解释为向量。例如，我们可以这样表示第一行：

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从几何学上讲，我们可以将花的这个实例视为在四个不同方向上与原点相距5.1、3.5、1.4和0.2个单位的空间中的线。
向量运算
在本节中，我们将简要介绍与向量相关的数学操作。
在此之前，我想和大家分享一下我的数学学习理念。除非你是一个严格的学者，否则数学的目的是帮助我们解决世界上的实际问题。
向量加法
数值上：我们将两个向量的每个维度相加。
例如： [1,2] + [1 ， -1] = [2 ， 1]
几何上：我们把一个向量的尾部放在另一个向量的头部上，然后画出从起点到终点的直线。
蓝色向量[1,2]+红色向量[1,1 -1]=绿色向量[2,1] 。

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向量减法
数值上：我们将两个向量的每个维度相减。
例如： [1,2]-[1 ， -1] = [0 ， 3]